球的体积
qiú de tǐ jī
球的体积是三分之四乘以 $\pi$，再乘以半径的立方。
Formula
V = \frac{4}{3}\pi r^3
Definition
半径为 $r$ 的球（球体）的体积为 $V = (4/3)\pi r^3$：把半径立方，再乘以 $\pi$ 和 $4/3$。体积按 $r^3$ 缩放，所以半径加倍会使体积变为 $8$ 倍；球与其外接圆柱（半径 $r$、高 $2r$）的体积之比为 $2:3$，半球体积为 $(2/3)\pi r^3$。通过积分，$$V = \int_{-r}^{r} \pi(r^2 - z^2) \, dz = \pi\left[r^2 z - \frac{z^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi r^3,$$ 或用球坐标，$$V = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^r \rho^2\sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta = \frac{4}{3}\pi r^3.$$
Example
一个半径 $3$ cm 的球，$V = (4/3) \times \pi \times 27 = 36\pi = 113.1$ cm$^3$；一个半径 $12$ cm 的篮球，$V = (4/3)\pi \cdot 1728 = 2304\pi = 7238$ cm$^3$。地球（半径 $6371$ km）有 $V = (4/3)\pi(6371)^3 = 1.083 \times 10^{12}$ km$^3$，而木星半径为 $69{,}911$ km，$V_{Jupiter} / V_{Earth} = (69911/6371)^3 = 1321$ 倍地球体积。$V = (4/3)\pi r^3$ 对 $r$ 求导得到 $4\pi r^2 = SA$，即表面积，因为半径 $r$ 处厚度为 $dr$ 的薄壳对体积的贡献是 $SA \cdot dr$。
Key Insight
球恰好可以内接于直径和高相等的圆柱中，占据该圆柱体积的 $2/3$，这是阿基米德发现并为之欣喜若狂的结果，甚至要求把它刻在自己的墓碑上。体积按线性尺寸的立方缩放，所以半径是地球 $10$ 倍的恒星，体积是地球的 $1000$ 倍，这解释了为什么大型行星和恒星在成长过程中会如此迅速地积累质量。关系式 $V'(r) = SA(r)$ 可以推广到任意维度：n维球的体积是其 $(n-1)$ 维表面积的积分，这是所有维度上度量方式的一种优美统一。