Volumen de una Esfera
El volumen de una esfera es cuatro tercios de $\pi$ por el radio al cubo.
Formula
V = \frac{4}{3}\pi r^3
Definition
El volumen de una esfera (una forma de bola) con radio $r$ es $V = (4/3)\pi r^3$: eleva el radio al cubo, luego multiplica por $\pi$ y por $4/3$. El volumen escala como $r^3$, por lo que duplicar el radio multiplica el volumen por $8$; una esfera y su cilindro circunscrito (radio $r$, altura $2r$) tienen volúmenes en razón $2:3$, y el volumen del hemisferio es $(2/3)\pi r^3$. Por integración, $$V = \int_{-r}^{r} \pi(r^2 - z^2) \, dz = \pi\left[r^2 z - \frac{z^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi r^3,$$ o en coordenadas esféricas, $$V = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^r \rho^2\sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta = \frac{4}{3}\pi r^3.$$
Example
Una pelota con radio $3$ cm tiene $V = (4/3) \times \pi \times 27 = 36\pi = 113.1$ cm$^3$, y un balón de baloncesto con radio $12$ cm tiene $V = (4/3)\pi \cdot 1728 = 2304\pi = 7238$ cm$^3$. La Tierra (radio $6371$ km) tiene $V = (4/3)\pi(6371)^3 = 1.083 \times 10^{12}$ km$^3$, mientras que Júpiter, con radio $69{,}911$ km, tiene $V_{Jupiter} / V_{Earth} = (69911/6371)^3 = 1321$ veces el volumen de la Tierra. La derivada de $V = (4/3)\pi r^3$ respecto a $r$ es $4\pi r^2 = SA$, el área de superficie, ya que una capa delgada de espesor $dr$ en el radio $r$ contribuye con $SA \cdot dr$ al volumen.
Key Insight
Una esfera encaja perfectamente dentro de un cilindro con el mismo diámetro y altura, ocupando exactamente $2/3$ del volumen de ese cilindro, un resultado que Arquímedes descubrió y que lo deleitó tanto que pidió que se tallara en su lápida. El volumen escala como el cubo de las dimensiones lineales, por lo que una estrella $10$ veces el radio de la Tierra tiene $1000$ veces el volumen de la Tierra, explicando por qué los planetas grandes y las estrellas acumulan masa tan rápidamente a medida que crecen. La relación $V'(r) = SA(r)$ se generaliza a cualquier dimensión: el volumen n-dimensional de una n-bola es la integral de su área de superficie $(n-1)$-dimensional, una hermosa unificación de la medición en todas las dimensiones.