棱锥的体积
léng zhuī de tǐ jī
棱锥的体积是三分之一乘以底面积，再乘以高。
Formula
V = \frac{1}{3} \times B \times h
Definition
底面积为 $B$、垂直高为 $h$ 的棱锥，体积为 $V = (1/3)Bh$，无论底面多边形（三角形、正方形、六边形等等）是什么形状都成立，对斜棱锥同样成立，此时 $h$ 仍然是从顶点到底面所在平面的垂直距离。作为积分，$$V = \int_0^h B(1-z/h)^2 \, dz = Bh\int_0^1 (1-t)^2 \, dt = \frac{Bh}{3},$$ 因为高度 $z$ 处的横截面是底面按线性比例因子 $(1-z/h)$ 缩放的副本，面积为 $B(1-z/h)^2$，对二次函数积分就得到了 $1/3$ 这个因子。截去顶部的棱锥（平截头体），底面积为 $B_1$、顶面积为 $B_2$、高为 $h$，体积为 $V = (h/3)(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$，这个公式源自古埃及（莫斯科数学纸草书，约公元前1850年），是已知最早的体积计算之一。
Example
一个底面 $6$ cm $\times$ $6$ cm、高 $4$ cm 的四棱锥，$B = 36$ cm$^2$，$V = (1/3)(36)(4) = 48$ cm$^3$；一个三角形底面积 $10$ cm$^2$、高 $9$ cm 的三棱锥，$V = (1/3)(10)(9) = 30$ cm$^3$。吉萨大金字塔原底边为 $230.4$ m $\times$ $230.4$ m（$B = 53{,}084$ m$^2$），高 $146.5$ m，体积为 $V = (1/3)(53084)(146.5) = 2.59 \times 10^6$ m$^3$，约 $2.59$ 百万立方米。
Key Insight
三个相同的四棱锥可以拼成一个立方体，所以每个棱锥的体积是立方体的 $1/3$，这正是 $1/3$ 的来源；任何棱柱都可以切成恰好 $3$ 个全等的棱锥，是对这个因子最令人满意的解释，且对任何棱柱形状都适用，不仅限于长方体。莫斯科数学纸草书给出了正确的平截头体公式却没有推导过程，暗示古埃及人可能拥有一种直觉或经验方法；直到微积分时代，也就是 $3500$ 年后，这个公式才被严格证明，见证了古埃及数学的非凡成就。