Volumen de una Pirámide
El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura.
Formula
V = \frac{1}{3} \times B \times h
Definition
El volumen de una pirámide con área de base $B$ y altura perpendicular $h$ es $V = (1/3)Bh$, sin importar la forma del polígono de la base (triángulo, cuadrado, hexágono, etcétera) y cumpliéndose también para pirámides oblicuas, donde $h$ sigue siendo la distancia perpendicular desde el ápice hasta el plano de la base. Como integral, $$V = \int_0^h B(1-z/h)^2 \, dz = Bh\int_0^1 (1-t)^2 \, dt = \frac{Bh}{3},$$ ya que la sección transversal a la altura $z$ es una copia escalada de la base con factor de escala lineal $(1-z/h)$ y área $B(1-z/h)^2$, e integrar una función cuadrática produce el factor de $1/3$. Un tronco (pirámide con la parte superior cortada) con área de base $B_1$, área superior $B_2$, y altura $h$ tiene $V = (h/3)(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2})$, una fórmula derivada en el antiguo Egipto (Papiro Matemático de Moscú, ca. 1850 a.C.), uno de los primeros cálculos de volumen conocidos.
Example
Una pirámide cuadrada con base $6$ cm $\times$ $6$ cm y altura $4$ cm tiene $B = 36$ cm$^2$, $V = (1/3)(36)(4) = 48$ cm$^3$, y una pirámide triangular con área de base triangular $10$ cm$^2$ y altura $9$ cm tiene $V = (1/3)(10)(9) = 30$ cm$^3$. La Gran Pirámide de Guiza tenía una base original de $230.4$ m $\times$ $230.4$ m ($B = 53{,}084$ m$^2$) y altura $146.5$ m, dando $V = (1/3)(53084)(146.5) = 2.59 \times 10^6$ m$^3$, aproximadamente $2.59$ millones de metros cúbicos.
Key Insight
Tres pirámides cuadradas idénticas pueden ensamblarse para formar un cubo, así que cada pirámide contiene $1/3$ del volumen del cubo, de donde viene el $1/3$; cualquier prisma puede cortarse en exactamente $3$ pirámides congruentes, la explicación más satisfactoria del factor, y funciona para la forma de cualquier prisma, no solo los rectangulares. El Papiro Matemático de Moscú da la fórmula correcta del tronco sin derivación, sugiriendo que los antiguos egipcios tenían un método intuitivo o empírico; no se demostró rigurosamente sino hasta la era del cálculo, $3500$ años después, dando testimonio de la notable sofisticación matemática del antiguo Egipto.