圆柱的体积
yuán zhù de tǐ jī
圆柱的体积等于 $\pi$ 乘以半径的平方，再乘以高。
Formula
V = \pi r^2 h
Definition
求圆柱的体积，先求圆形底面的面积（$\pi r^2$），再乘以高：$V = \pi r^2 h$，等于底面积乘以高，与一般棱柱公式 $V = Bh$ 一致，因为圆柱是以圆为底面的棱柱。半径加倍会使体积变为四倍（因为 $r$ 被平方），而高加倍只会使体积变为两倍。这可以通过对圆形横截面积分推导，$$V = \int_0^h \pi r^2 \, dz = \pi r^2 h,$$ 或者等价地用壳层法，$$V = \int_0^r 2\pi t h \, dt = \pi r^2 h,$$ 两种方法结果一致，说明体积与所采用的积分方法无关。
Example
一个半径 $3$ cm、高 $10$ cm 的罐头，$V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi = 282.7$ cm$^3$。一个直径 $6$ m（$r=3$ m）、深 $1.5$ m 的圆柱形游泳池，$V = \pi(9)(1.5) = 13.5\pi = 42.4$ m$^3 = 42{,}412$ 升。对表面积固定为 $SA = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ 的圆柱求体积最大值，可以得出最大值出现在 $h = 2r$（高等于直径）处，这就是微积分优化中的"最佳罐头"问题。
Key Insight
圆柱的体积恰好是同底同高圆锥体积的 $3$ 倍（因为 $V_{cone} = (1/3)\pi r^2 h$），这就是为什么从锥形容器里舀三勺冰淇淋恰好等于一个圆柱形杯子的容量。最佳罐头问题表明，在固定体积下最小化材料和在固定材料下最大化体积，都得出 $h = 2r$ 的结果，尽管许多实际罐头由于制造成本、堆叠效率和盖体材料比等因素而偏离这个结果。