Forma Estándar (Cuadrática)
La forma estándar de una ecuación cuadrática es $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a$, $b$ y $c$ son constantes y $a$ no es cero.
Formula
ax^2 + bx + c = 0
Definition
La forma estándar de una cuadrática es $ax^2 + bx + c = 0$: todo en un solo lado, el término al cuadrado primero, el término en x segundo, la constante al final, todo igual a cero, con $a$ distinto de cero, $b$ posiblemente cero, y $c$ posiblemente cero. Esta forma permite leer directamente los coeficientes para la fórmula cuadrática y el discriminante, mientras que la forma de vértice $a(x-h)^2 + k$ en cambio revela directamente el vértice y el eje de simetría. La forma estándar puede reducirse a la cuadrática deprimida $t^2 + pt + q = 0$ mediante la sustitución $x = t - b/(2a)$, eliminando el término lineal, con soluciones $t = (-p \pm \sqrt{p^2 - 4q})/2$; esta reducción se generaliza a la transformación de Tschirnhaus usada para eliminar términos subprincipales en polinomios de grado superior.
Example
$x^2 - 3x + 2 = 0$ ya está en forma estándar, con $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$, mientras que $2x^2 + 5x = 3$ debe reorganizarse primero a $2x^2 + 5x - 3 = 0$. Al convertir $y = 3(x-1)^2 - 7$ a la forma estándar: expande a $3x^2 - 6x + 3 - 7 = 3x^2 - 6x - 4$, así que la ecuación es $3x^2 - 6x - 4 = 0$. Para $2x^2 + 8x + 5 = 0$, al sustituir $x = t - 2$ se obtiene $2t^2 - 3 = 0$, así que $t = \pm\sqrt{3/2}$.
Key Insight
La forma estándar importa porque la fórmula cuadrática necesita identificar correctamente $a$, $b$, y $c$, así que siempre reorganiza a esta forma primero. La reducción a la forma deprimida es la técnica histórica que llevó a las fórmulas de solución para polinomios de grado $3$ y $4$ (las fórmulas de Cardano y de Ferrari); para el grado $5$ y superiores, no existe ninguna fórmula general de este tipo, un hecho conocido como el teorema de Abel-Ruffini.