Rotación
Una rotación gira una figura un ángulo determinado alrededor de un punto central fijo, produciendo una imagen congruente.
Formula
(x,y) \to (x\cos t - y\sin t, \ x\sin t + y\cos t)
Definition
Una rotación gira una figura alrededor de un punto central fijo por un ángulo y una dirección especificados (horario o antihorario), manteniendo el tamaño y los ángulos de la figura sin cambios. Una rotación por ángulo $\theta$ en sentido antihorario alrededor del origen transforma $(x, y)$ en $(x\cos\theta - y\sin\theta, \ x\sin\theta + y\cos\theta)$; para rotar alrededor de un centro arbitrario $(h, k)$, traslada de modo que $(h,k)$ quede en el origen, rota, y luego traslada de vuelta, y las rotaciones son isometrías que preservan la orientación. Formalmente, la rotación por $\theta$ alrededor del origen es la aplicación lineal $R(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$, un elemento del grupo ortogonal especial $SO(2)$, donde componer rotaciones da $R(\theta_1)R(\theta_2) = R(\theta_1+\theta_2)$ ($SO(2)$ es abeliano); en 3D, las rotaciones forman el grupo no abeliano $SO(3)$, donde el orden de las rotaciones alrededor de diferentes ejes sí importa.
Example
Rotar un cuadrado $90$ grados en sentido antihorario alrededor de su centro lo deja luciendo igual, gracias a su simetría rotacional de orden $4$, mientras que rotar un triángulo escaleno $90$ grados alrededor del origen mueve cada vértice a una nueva ubicación. Rotar el punto $(3, 0)$ $90$ grados en sentido antihorario da $(0, 3)$; rotar eso otros $90$ grados da $(-3, 0)$, luego $(0, -3)$, y una cuarta rotación de $90$ grados regresa al inicio. En 3D, rotar $90$ grados alrededor del eje x y luego $90$ grados alrededor del eje y da un resultado diferente que en el orden inverso, la no conmutatividad de $SO(3)$ fundamental en robótica (bloqueo de cardán) y mecánica cuántica (operadores de espín).
Key Insight
Rotar $180$ grados termina en el mismo lugar ya sea que gires en sentido horario o antihorario, pero $90$ grados en sentido horario difiere de $90$ grados en sentido antihorario. Una rotación por $\theta$ y una por $\theta+360^\circ$ son idénticas, así que la simetría rotacional se describe mediante la rotación más pequeña que mapea una figura sobre sí misma; para un n-ágono regular, la rotación mínima es $360/n$ grados. La no conmutatividad de las rotaciones 3D tiene consecuencias físicas profundas, subyaciendo a la no conmutatividad de los operadores de momento angular cuántico $[L_x, L_y] = i\hbar L_z$, conectando la geometría directamente con la estructura mecánico-cuántica de los átomos.