抛物线
pāo wù xiàn
抛物线是二次函数呈 U 形的图像，具有顶点和对称轴，开口方向可以向上或向下。
Formula
y = ax^2 + bx + c
Definition
抛物线是二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 图像所呈现的 U 形曲线：当 $a > 0$ 时开口向上（像一个笑脸，有最小值），当 $a < 0$ 时开口向下（像一个皱眉，有最大值），其关键特征包括顶点、对称轴、y 轴截距 $(0, c)$，以及 x 轴截距（若存在，即为实根）。更严格地说，抛物线是一种圆锥曲线，是到一个定点（焦点 $F$）与一条定直线（准线 $d$）距离相等的点的轨迹；对 $y = \frac{1}{4p}x^2$ 而言，焦点位于 $(0, p)$，准线为 $y = -p$，其离心率恰好为 $1$，并且具有反射性质：与轴平行的光线在反射后都会经过焦点。
Example
$y = x^2$ 开口向上；$y = -x^2$ 开口向下，抛出的球所划出的轨迹就是一条抛物线。对 $y = x^2 - 4$ 而言，顶点为 $(0, -4)$，对称轴为 $x = 0$，x 轴截距为 $x = 2$ 和 $x = -2$。把 $y = x^2$ 写成 $y = \frac{1}{4p}x^2$ 得到 $4p = 1$，所以 $p = 1/4$：焦点在 $(0, 1/4)$，准线为 $y = -1/4$。
Key Insight
抛物线无处不在：卫星天线、抛出物体的运动轨迹，以及汽车前灯反光罩的横截面，都是抛物线形的。x 轴截距的个数揭示了判别式的符号：两个意味着 $D > 0$，一个意味着 $D = 0$（顶点恰好落在 x 轴上），零个意味着 $D < 0$。正是这种反射性质，解释了为什么卫星天线和车灯要设计成抛物线形：入射的平行信号（或射出的光线）都会聚焦于，或者说都是从这唯一的焦点发出的。