Parábola
Una parábola es la gráfica en forma de U de una función cuadrática, caracterizada por un vértice, un eje de simetría, y una apertura hacia arriba o hacia abajo.
Formula
y = ax^2 + bx + c
Definition
Una parábola es la curva en forma de U producida al graficar una función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$: se abre hacia arriba (una sonrisa, con un mínimo) cuando $a > 0$ y hacia abajo (un ceño fruncido, con un máximo) cuando $a < 0$, con características clave que incluyen el vértice, el eje de simetría, la intersección con el eje y $(0, c)$, y las intersecciones con el eje x (las raíces reales, si existen). Más formalmente, una parábola es una sección cónica, el lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto fijo (el foco $F$) y una línea fija (la directriz $d$); para $y = \frac{1}{4p}x^2$, el foco está en $(0, p)$ y la directriz es $y = -p$, su excentricidad es exactamente $1$, y tiene la propiedad reflectiva de que los rayos paralelos al eje pasan todos por el foco después de la reflexión.
Example
$y = x^2$ se abre hacia arriba; $y = -x^2$ se abre hacia abajo, y la trayectoria de una pelota lanzada traza una parábola. Para $y = x^2 - 4$, el vértice es $(0, -4)$, el eje es $x = 0$, y las intersecciones con el eje x están en $x = 2$ y $x = -2$. Al escribir $y = x^2$ como $y = \frac{1}{4p}x^2$ se obtiene $4p = 1$, así que $p = 1/4$: foco en $(0, 1/4)$, directriz $y = -1/4$.
Key Insight
Las parábolas están por todas partes: las antenas satelitales, la trayectoria de una pelota lanzada, y la sección transversal de los reflectores de los faros de un automóvil son todas parabólicas. El número de intersecciones con el eje x revela el signo del discriminante: dos significa $D > 0$, una significa $D = 0$ (vértice tocando el eje x), cero significa $D < 0$. Esa propiedad reflectiva es exactamente la razón por la que las antenas satelitales y los faros tienen forma de parábola: las señales paralelas entrantes (o la luz saliente) se enfocan todas en, o emergen de, ese único punto focal.