对称轴
duì chèn zhóu
对称轴把图形分成互为镜像的两半，沿这条线折叠后两半完全重合。
Definition
对称轴是一条把图形分成两半、且两半互为镜像的直线，沿这条直线折叠图形会使两半恰好重合。严格地说，图形的对称轴是这样一条直线 $l$：图形沿 $l$ 反射后与自身重合；图形上的每一点 $P$ 都有一个对应点 $P'$ 也在图形上，$l$ 是 $PP'$ 的垂直平分线。正n边形恰好有 $n$ 条对称轴，因为每条对称轴要么经过两个相对的顶点（$n$ 为偶数时），要么经过一个顶点和它对面边的中点（$n$ 为奇数时）。用群论的语言来说，沿 $l$ 的反射是对称群 $\text{Sym}(F)$ 的一个元素；对于正n边形，$\text{Sym}(F) = D_n$（阶为 $2n$ 的二面体群），包含 $n$ 个反射和 $n$ 个旋转，对称轴生成 $D_n$ 的反射子群。
Example
矩形有 $2$ 条对称轴（一条水平、一条竖直），等边三角形有 $3$ 条，圆有无穷多条，字母"A"有 $1$ 条竖直对称轴。等腰三角形恰好有 $1$ 条对称轴（从顶角到底边的高线），正方形有 $4$ 条，非正方形的矩形有 $2$ 条，非矩形的平行四边形有 $0$ 条。等边三角形的对称群是 $D_3 = S_3$，有 $3$ 个反射和 $2$ 个非恒等旋转（$120$ 度和 $240$ 度），它的 $3$ 条对称轴生成完整的二面体群 $D_3$。
Key Insight
把一张纸对折：如果两半能够重合，折痕就是一条对称轴，蝴蝶、心形以及字母"H"都是这样的例子。正多边形对称轴的数目恰好等于它的边数。二面体群 $D_n$ 出现在晶体学中作为二维晶体截面的对称群，也出现在化学（分子对称性）以及艺术（镶嵌与圆花图案）中；对所有二维对称群的分类（$17$ 种壁纸群）是群论中一个具有物理应用的里程碑式成果。