Línea de Simetría
Una línea de simetría divide una figura en dos mitades especulares idénticas al doblarse a lo largo de la línea.
Definition
Una línea de simetría es una recta que divide una figura en dos mitades que son imágenes especulares entre sí, de modo que doblar la figura a lo largo de la línea hace que las dos mitades coincidan perfectamente. Formalmente, una línea de simetría (eje de simetría) de una figura es una recta $l$ tal que la reflexión de la figura a través de $l$ transforma la figura en sí misma; cada punto $P$ de la figura tiene un punto correspondiente $P'$ también en la figura, con $l$ como la mediatriz de $PP'$. Un n-ágono regular tiene exactamente $n$ líneas de simetría, ya que cada línea pasa por dos vértices opuestos ($n$ par) o por un vértice y el punto medio de un lado opuesto ($n$ impar). En términos teórico-grupales, la reflexión-$l$ es un elemento del grupo de simetría $\text{Sym}(F)$; para un n-ágono regular, $\text{Sym}(F) = D_n$ (el grupo diedral de orden $2n$), que contiene $n$ reflexiones y $n$ rotaciones, y las líneas de simetría generan el subgrupo de reflexiones de $D_n$.
Example
Un rectángulo tiene $2$ líneas de simetría (una horizontal, una vertical), un triángulo equilátero tiene $3$, un círculo tiene infinitas, y la letra "A" tiene $1$ línea de simetría vertical. Un triángulo isósceles tiene exactamente $1$ línea de simetría (la altura desde el ápice hasta la base), un cuadrado tiene $4$, un rectángulo no cuadrado tiene $2$, y un paralelogramo no rectangular tiene $0$. El grupo de simetría de un triángulo equilátero es $D_3 = S_3$, con $3$ reflexiones y $2$ rotaciones no identidad ($120$ y $240$ grados), y sus $3$ líneas de simetría generan el grupo diedral completo $D_3$.
Key Insight
Dobla una hoja de papel por la mitad: la línea de doblez es una línea de simetría si ambas mitades coinciden, como se ve en una mariposa, una forma de corazón, o la letra "H." El número de líneas de simetría de un polígono regular siempre es igual a su número de lados. Los grupos diedrales $D_n$ surgen en cristalografía como grupos de simetría de secciones transversales de cristales 2D, en química (simetría molecular), y en arte (teselados y patrones de roseta); la clasificación de todos los grupos de simetría 2D ($17$ grupos de papel tapiz) es un resultado emblemático en la teoría de grupos con aplicaciones físicas.