圆锥
yuán zhuī
圆锥是一种有圆形底面、向上收缩到一个称为顶点的点的三维立体图形。
Formula
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h; \ LSA = \pi r l
Definition
圆锥有一个圆形底面，顶部收缩到一个称为顶点的单一点，就像冰淇淋筒或交通锥；对于底面半径为 $r$、垂直高为 $h$、斜高为 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ 的直圆锥，体积 $V = (1/3)\pi r^2 h$，侧面积 $LSA = \pi r l$，总表面积 $SA = \pi r(r + l)$。它是一个直角三角形绕一条直角边旋转所得到的旋转体，其体积可以通过对圆形横截面积分推导：$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{rz}{h}\right)^2 dz = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h.$$
Example
一个半径 $3$ cm、高 $12$ cm 的冰淇淋筒，体积为 $(1/3) \times \pi \times 9 \times 12 = 36\pi = 113.1$ cm$^3$，容量恰好是同底同高圆柱的三分之一。一个 $r = 5$ cm、$h = 12$ cm 的圆锥，斜高 $l = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm，所以 $V = (1/3)\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi = 314.2$ cm$^3$，$LSA = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi = 204.2$ cm$^2$。卡瓦列里原理表明，半径同为 $r$ 的圆锥和半球体恰好可以拼合在一个半径为 $r$、高为 $r$ 的圆柱内部，因为在高度 $z$ 处，圆锥横截面积 $\pi (rz/h)^2$ 与半球横截面积 $\pi(r^2-z^2)$ 之和恰为 $\pi r^2$，证明了 $V_{cone} + V_{hemisphere} = V_{cylinder}$。
Key Insight
把三个同样大小的圆锥装满沙子，倒入一个同底同高的圆柱，恰好能装满，这正是体积公式中"三分之一"的由来。斜高 $l$ 是沿表面从顶点到底边的距离，而不是垂直高 $h$，混淆这两者是常见的错误；$l$ 恒大于 $h$，是由 $r$ 和 $h$ 构成的直角三角形的斜边。阿基米德的巧妙证明表明 $V_{hemisphere} = (2/3)\pi r^3$，$V_{cone} = (1/3)\pi r^3$，且完全不需要用到微积分，是积分学的先驱。