Cono
Un cono es un sólido 3D con una base circular que se estrecha hasta un único punto llamado ápice.
Formula
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h; \ LSA = \pi r l
Definition
Un cono tiene una base circular y termina en un solo punto en la parte superior llamado ápice o vértice, como un cono de helado o un cono de tránsito; para un cono circular recto con radio de base $r$, altura perpendicular $h$, y altura inclinada $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, volumen $V = (1/3)\pi r^2 h$, área de superficie lateral $LSA = \pi r l$, y total $SA = \pi r(r + l)$. Es el sólido de revolución de un triángulo rectángulo alrededor de un cateto, y su volumen puede derivarse integrando secciones transversales circulares: $$V = \int_0^h \pi \left(\frac{rz}{h}\right)^2 dz = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h.$$
Example
Un cono de helado con radio $3$ cm y altura $12$ cm tiene volumen $(1/3) \times \pi \times 9 \times 12 = 36\pi = 113.1$ cm$^3$, con capacidad para exactamente un tercio de lo que cabe en un cilindro con la misma base y altura. Un cono con $r = 5$ cm, $h = 12$ cm tiene altura inclinada $l = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm, así que $V = (1/3)\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi = 314.2$ cm$^3$ y $LSA = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi = 204.2$ cm$^2$. El principio de Cavalieri muestra que un cono y un hemisferio de radio $r$ igual encajan juntos dentro de un cilindro de radio $r$ y altura $r$, ya que a la altura $z$ el área de la sección transversal del cono $\pi (rz/h)^2$ más el área de la sección transversal del hemisferio $\pi(r^2-z^2)$ suman $\pi r^2$, probando que $V_{cone} + V_{hemisphere} = V_{cylinder}$.
Key Insight
Tres conos del mismo tamaño pueden llenarse con arena y vaciarse en un cilindro con la misma base y altura, llenándolo exactamente, razón por la cual la fórmula del volumen tiene el "un tercio." La altura inclinada $l$ es la distancia a lo largo de la superficie desde el ápice hasta el borde de la base, no la altura vertical $h$, y confundir las dos es un error común; $l$ siempre es mayor que $h$, la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por $r$ y $h$. La elegante prueba de Arquímedes muestra que $V_{hemisphere} = (2/3)\pi r^3$ y $V_{cone} = (1/3)\pi r^3$ sin usar cálculo, un precursor del cálculo integral.