配方法
pèi fāng fǎ
配方法是通过加上并减去一个精心选取的常数，把二次式改写为顶点式，从而构造出完全平方三项式的方法。
Formula
x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2
Definition
配方法通过加上 $(b/2)^2$（再减去同样的值以保持数值不变）把像 $x^2 + bx$ 这样的二次式改写为一个完全平方三项式，把表达式转换为顶点式。对一般的 $ax^2 + bx + c$ 而言：若 $a \neq 1$，先从前两项中提出 $a$，在括号内加上 $(b/2a)^2$（并在外面减去等量的值），再把结果写成 $a(x + b/(2a))^2 + (c - b^2/(4a))$。同样的技巧被用来推导求根公式，以及把一般的圆锥曲线 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ 化简为标准分类形式；在线性代数中，对二次型 $Q = x^TAx$ 配方对应于通过合同变换将 $A$ 对角化，这一事实被形式化为西尔维斯特惯性定理。
Example
$x^2 + 6x$：$6$ 的一半是 $3$，$3^2 = 9$，所以 $x^2 + 6x = x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$。$2x^2 - 12x + 7$：提出 $2$ 得到 $2(x^2-6x)+7$，在括号内加减 $9$：$2(x-3)^2 - 18 + 7 = 2(x-3)^2 - 11$，顶点为 $(3,-11)$。推导求根公式：$ax^2+bx+c=0 \implies x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \implies \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \implies x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
Key Insight
可以把它想象成搭建一个正方形：$x^2 + 6x$ 几乎就是一个完全平方式，所以只需加上恰好够用的量（$9$）来补全它，再减去同样的量以保持数值不变。这正是求根公式本身背后的技巧，也是求解那些在整数范围内不能因式分解的二次式的方法，每一个实二次型同样可以通过配方来对角化（西尔维斯特惯性定理），把这一初等技巧与谱理论以及有序域上二次型的分类联系起来。