Eje de Simetría
El eje de simetría de una parábola es la línea vertical que pasa por el vértice, dividiendo la parábola en dos mitades que son imágenes especulares.
Formula
x = \frac{-b}{2a}
Definition
El eje de simetría es la línea vertical que divide exactamente a la mitad una parábola, de modo que ambos lados son imágenes especulares uno del otro a través de él; para $y = ax^2 + bx + c$, es la línea $x = \frac{-b}{2a}$, que pasa por el vértice, y también actúa como la mediatriz de cualquier cuerda horizontal de la parábola. Para $f(x) = a(x-h)^2 + k$ con vértice $(h,k)$, el eje $x = h$ satisface la simetría de reflexión $f(h+t) = f(h-t)$ para todo $t$, ya que $f(h+t) = at^2 + k = f(h-t)$; esta es la parte par de la cuadrática centrada en el vértice, y se conecta con el foco y la directriz de la parábola a través de la propiedad de reflexión óptica.
Example
Para $y = x^2 - 6x + 8$, el eje de simetría es $x = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$. Para $y = 3x^2 - 12x + 7$, el eje es $x = 12/6 = 2$, y los puntos $(1, -2)$ y $(3, -2)$ están equidistantes de $x = 2$ con valores de y iguales, confirmando la simetría. Para $y = 2(x - 3)^2 + 1$, eje $x = 3$: $f(5) = 2(4)+1 = 9$ y $f(1) = 2(4)+1 = 9$ coinciden.
Key Insight
Si doblaras la gráfica a lo largo del eje de simetría, ambos lados coincidirían exactamente, y el vértice siempre se encuentra sobre él, razón por la cual encontrar primero el vértice y reflejar unos cuantos puntos reduce a la mitad el trabajo de graficar. La idea se generaliza a otras secciones cónicas, las elipses tienen dos ejes de simetría y las hipérbolas también tienen dos, conectando la estructura algebraica de las funciones pares centradas en un punto con la simetría geométrica de manera más amplia.