波速

物理学

bō sù

波速是波从一处传到另一处的快慢,等于频率乘以波长(v = f × λ),并取决于介质。

Formula

v = f\lambda
Visualization

Definition

波速是一列波从一处移动到另一处的快慢,它取决于波所经过的介质,而不取决于波有多大或多频繁;它等于频率乘以波长,$v = f\lambda$,以米每秒为单位,因此喊得更大声并不会让声音传得更快,因为同一种空气中的所有声音都以相同的速度传播。声音在 $20^\circ\text{C}$ 的空气中约以 $343\ \text{m/s}$ 传播,在水中更快($1{,}480\ \text{m/s}$),在钢中更快,而光在真空中以 $3.00 \times 10^8\ \text{m/s}$ 传播,在玻璃或水中稍慢一些。波速是相速度 $v = \omega/k = f\lambda$,由介质的恢复力和惯性决定:对一根被拉伸的弦而言 $v = \sqrt{T/\mu}$,对流体中的声音而言 $v = \sqrt{B/\rho}$,对理想气体而言 $v = \sqrt{\gamma RT/M}$,这给出了 $293\ \text{K}$ 空气中 $343\ \text{m/s}$ 的结果;真空中的电磁波以 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 2.998 \times 10^8\ \text{m/s}$ 传播,在色散介质中,携带能量和信息的群速度 $d\omega/dk$ 可以不同于相速度。

Example

闪电总是先被看见,雷声后被听见,因为光传播的速度几乎是声音的百万倍,因此数出闪光和轰鸣之间相隔 $3$ 秒,就说明暴风雨大约在 $1\ \text{km}$ 之外。一列频率 $4\ \text{Hz}$、波长 $0.5\ \text{m}$ 的波,速度为 $v = 4 \times 0.5 = 2\ \text{m/s}$,对空气而言,$\gamma = 1.40$,$M = 0.0290\ \text{kg/mol}$,$R = 8.314\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$,因此在 $293\ \text{K}$ 时,$v = \sqrt{1.40 \times 8.314 \times 293 / 0.0290} \approx 343\ \text{m/s}$,与教科书数值相符,而在 $273\ \text{K}$ 时,同一公式给出 $331\ \text{m/s}$。

Key Insight

声音在较暖的空气中传播得更快,在 $35^\circ\text{C}$ 的炎热天气中约以 $352\ \text{m/s}$ 传播,比 $20^\circ\text{C}$ 时快约 $9\ \text{m/s}$。介质中其实并没有任何东西真的以波速在移动:声波中的空气分子只是以每秒几毫米的速度来回晃动,而波形本身却以 $343\ \text{m/s}$ 的速度飞驰而过。