有效数字
yǒu xiào shù zì
有效数字是一个测量值中真正承载信息的那些数字，由所使用仪器的精度决定。
Definition
有效数字是一个测量值中你真正知道的那些数字：一把以毫米为刻度的直尺给出的长度大约有三位数字是可靠的，所以你不应该写出六位。它们是确定已知的数字再加上一位估读数字；非零数字总是有效的，非零数字之间的零是有效的，前导零不是有效的，小数点后的末尾零是有效的。做乘法或除法时，结果保留的有效数字位数与精度最低的那个测量值相同；做加法或减法时，结果保留的小数位数与位数最少的那个测量值相同。这些规则是不确定度传播的一种简化形式，像计数和已规定的换算因子这样的精确数不会限制结果的位数，在严谨的工作中，更倾向于用像 $2.70 \pm 0.05$ 这样明确的不确定度来表示。
Example
一株测得为 $8.5\ \text{cm}$ 的豆苗有两位有效数字，如果写成 $8.500\ \text{cm}$，就等于声称了一种直尺根本给不出的精度。一块质量为 $13.5\ \text{g}$（三位有效数字）、排开体积为 $5.0\ \text{mL}$（两位）的岩石，密度为 $13.5 / 5.0 = 2.7\ \text{g/cm}^3$，报告时应写两位，而不是 $2.70$。一个测得的 $1500\ \text{m}$ 是含糊的，而 $1.50 \times 10^3\ \text{m}$ 则明确表示三位；把 $2.40\ \text{m/s}$ 换算成 $8.64\ \text{km/h}$ 时保留三位，因为 $1000$ 和 $3600$ 这两个因子都是精确的；而五个各自读到 $0.01\ \text{m/s}$ 的速度的平均值，应报告为 $2.40$ 而不是 $2.400$，即使计算器显示的是 $2.4000$。
Key Insight
计算器会给出十位数字，但你的直尺只给了你两三位；要写下你实际测到的，而不是计算器显示的。有效数字是一种诚实的表达方式，因为报告 $2.7$ 而不是 $2.70$，正是在准确地告诉读者应该在多大程度上信任这个数字。在每一个中间步骤都四舍五入会累积误差，所以在计算过程中要多保留几位数字，只在最终报告的结果上才四舍五入。