科学记数法
kē xué jì shù fǎ
科学记数法把非常大或非常小的测量值写成一个介于 1 和 10 之间的数乘以十的幂次。
Formula
a \times 10^{n}, \quad 1 \le a < 10
Definition
科学记数法是一种书写特别大或特别小的数的简便方式：一个介于 $1$ 和 $10$ 之间的数，乘以 $10$ 的某个幂次，幂次说明小数点移动了多少位。正式地说，一个数值被写成 $a \times 10^{n}$，其中 $1 \le a < 10$，$n$ 是整数，这样任何大小的测量值都保持易读，明确表示出有效数字的位数，并且由于指数相加相减，使乘除运算变得简单。尾数 $a$ 承载精度（$3.00 \times 10^8$ 表示三位有效数字，而 $3 \times 10^8$ 只表示一位有效数字，这是 $300{,}000{,}000$ 这种写法无法区分的），指数则承载数量级。比较数量级能快速估计一个结果是否合理。
Example
太阳大约在 $150{,}000{,}000\ \text{km}$ 之外，即 $1.5 \times 10^8\ \text{km}$，一粒盐大约 $0.0005\ \text{m}$ 宽，即 $5 \times 10^{-4}\ \text{m}$。光速是 $3.0 \times 10^8\ \text{m/s}$，一个红细胞的直径约为 $7 \times 10^{-6}\ \text{m}$；光到达地球需要 $\frac{1.5 \times 10^{11}\ \text{m}}{3.0 \times 10^8\ \text{m/s}} = 5.0 \times 10^2\ \text{s}$，大约 $8$ 分钟。一个水分子的质量为 $\frac{18.0\ \text{g/mol}}{6.022 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}} = 2.99 \times 10^{-23}\ \text{g}$，在动用计算器之前，一次快速检查（$18 / 6 = 3$，$10^0 / 10^{23} = 10^{-23}$）就能确认这个数量级是对的。
Key Insight
正的幂次表示一个大数，负的幂次表示一个小数，幂次的大小记录了小数点移动了多少位。科学记数法和公制词头是同一件事的两种说法：$7 \times 10^{-6}\ \text{m}$ 就是 $7\ \mu\text{m}$。数量级推理是科学家最先做的合理性检查；如果一次计算得出细胞质量为 $10^{-3}\ \text{g}$，而细胞的质量本应接近 $10^{-9}\ \text{g}$，那说明指数运算在某处出了错，再多的小数精度也挽救不了它。