轨道
guǐ dào
轨道是一个天体在引力作用下绕另一个天体运行的弯曲路径，例如地球绕太阳运行，或卫星绕地球运行。
Definition
轨道是一个天体在太空中围绕另一个天体运行时所走的路径，靠引力维持在原地，就像地球绕太阳运行、月球绕地球运行一样。轨道大多呈椭圆形，其中大多数行星轨道接近圆形；它们产生于天体自身前进运动（惯性）与引力向内拉扯之间的平衡：没有引力，天体会径直飞离；没有前进运动，天体则会直接坠落。把牛顿的万有引力定律与他的第二运动定律结合起来，可以得到一个以中心天体质量为一个焦点的椭圆轨道；对于绕质量 $M$ 做半径为 $r$ 的圆轨道运动，引力提供了向心力，因此 $v = \sqrt{GM/r}$，$T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$。对于半长轴为 $a$ 的轨道，总轨道能量为 $E = -GMm/2a$；$E \geq 0$ 的非束缚轨道呈抛物线或双曲线形状；一条轨道可以完全由六个轨道要素来描述，包括半长轴、偏心率和轨道倾角。
Example
国际空间站的轨道高度约为 $400$ 千米，绕地球一周大约需要 $90$ 分钟，因此宇航员每天能看到 $16$ 次日出。地球以约 $30\ \text{km/s}$ 的速度运动，在 $365.25$ 天内绕行约 $940$ 百万千米；低地球轨道上的卫星必须达到约 $7.7\ \text{km/s}$ 的速度，这也是为什么需要用火箭来发射卫星。对于地球静止卫星，取 $T = 86{,}164\ \text{s}$，代入 $GM_{\text{Earth}} = 3.986 \times 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ 求解 $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3}$，可以得到 $r \approx 42{,}200\ \text{km}$，也就是距地表约 $35{,}800\ \text{km}$ 的高度。
Key Insight
轨道其实是一次永远落不到地面的坠落：卫星始终在朝地球坠落，但它横向运动的速度太快，以至于地面在它下方不断弯曲远离。离中心天体越近的轨道运行速度越快，所以水星以 $47\ \text{km/s}$ 的速度绕太阳飞驰，海王星却只以 $5.4\ \text{km/s}$ 的速度缓慢爬行。要把轨道升高，反而需要先加速，但升高后的轨道运行速度却更慢，因为多出来的能量转化成了引力势能，这个看似违反直觉的结果，是每一位航天器导航工程师都必须掌握的。