月相
yuè xiàng
月相是从地球上看到的月球被阳光照亮部分的形状，大约每29.5天从新月循环到满月，再回到新月。
Definition
月相是我们从地球上看到的、月球被阳光照亮那一半的形状；随着月球绕地球运行，太阳、地球和月球之间的角度不断变化，月相也随之改变，但无论我们看到哪种月相，月球本身始终有一半是被照亮的。可见部分的比例大约每 $29.5$ 天完成一次循环，从一弯细细的月牙变成满月，再变回月牙；比例增加的阶段称为盈，比例减小的阶段称为亏。这一比例取决于从月球上看太阳方向与地球方向之间的相位角 $\theta$，遵循 $(1 + \cos\theta)/2$ 的关系；$29.53$ 天的朔望月比 $27.32$ 天的恒星月更长，是因为地球本身在月球绕地球一圈的同时，也沿轨道绕太阳前进了约 $27^\circ$，这一关系可以写成 $1/T_{\text{syn}} = 1/T_{\text{sid}} - 1/T_{\text{year}}$。由于月球轨道相对黄道倾斜了约 $5^\circ$，新月和满月通常都不会正好落在日地连线上，所以日食和月食一年只会发生几次，而不是每月都发生。
Example
完整的月相周期依次是：新月、娥眉月、上弦月、盈凸月、满月、亏凸月、下弦月、残月，从头到尾大约需要一个月的时间。新月时，月球位于地球和太阳之间，被照亮的一面背对着我们；满月时，地球位于太阳和月球之间，我们能看到整个被照亮的一面；上弦月大约出现在新月之后 $7.4$ 天，此时月球与太阳相距 $90^\circ$，看起来正好是一半被照亮。由恒星月推算朔望月：$1/T_{\text{syn}} = 1/27.32 - 1/365.25 = 0.03660 - 0.00274 = 0.03386$（每天），所以 $T_{\text{syn}} \approx 29.53$ 天；满月的亮度约是上弦月的 $12$ 倍，而不是简单的两倍，这是因为在较大的相位角下，月球表面的凹凸不平会造成更多的阴影。
Key Insight
月相与地球的影子投射到月球上毫无关系；月球暗淡的那一部分，只是它自身此刻背向太阳的夜面而已。月球绕地球公转只需要 $27.3$ 天，但月相变化的完整周期却需要 $29.5$ 天，这是因为在此期间地球自身也在沿轨道运动，月球必须多走一段路，才能重新与太阳对齐。月相还能告诉你月亮会在什么时候出现在天空中：满月在日落时升起，在日出时落下；上弦月在日落时位于天空最高处；而新月则完全看不见，因为它正好和太阳一起挂在白天的天空中。