机械能

物理学

jī xiè néng

机械能是物体动能与势能之和(ME = KE + PE),当只有重力或弹簧做功时守恒。

Formula

ME = KE + PE
Visualization

Definition

机械能是运动的能量加上位置的能量之和:一个物体因其运动方式和所处位置而具有的总能量。它是动能与势能之和,$ME = KE + PE$,当只有重力或弹力做功、没有摩擦力或空气阻力时,即使动能和势能不断相互转化,机械能也保持不变;摩擦力会把机械能转化为热能。一般来说,只要做功的力都是保守力,$E = K + U$ 就守恒。当存在非保守力时,功能定理推广为 $W_{\text{nc}} = \Delta K + \Delta U = \Delta E$,因此摩擦力和阻力使机械能减少的量恰好等于它们产生的热能。$E$ 的守恒是牛顿第二定律的一个首次积分,常常可以代替直接求解运动方程。

Example

荡到最高点的秋千拥有储存的能量,荡到最低点时拥有运动的能量;在任意时刻把二者加起来,就得到秋千的机械能。一个 $2\ \text{kg}$ 的球在 $4\ \text{m}$ 高处以 $3\ \text{m/s}$ 运动,$PE = 2 \times 9.8 \times 4 = 78.4\ \text{J}$,$KE = 0.5 \times 2 \times 9 = 9\ \text{J}$,因此 $ME = 87.4\ \text{J}$,在 $PE = 0$ 的地面处,全部 $87.4\ \text{J}$ 都是动能。在有摩擦力的情形下,一个 $50\ \text{kg}$ 的雪橇从静止开始,从 $12\ \text{m}$ 高的坡顶滑下,到坡底时速度为 $12\ \text{m/s}$,它一开始具有 $E = 50 \times 9.8 \times 12 = 5{,}880\ \text{J}$ 的能量,结束时具有 $K = 0.5 \times 50 \times 144 = 3{,}600\ \text{J}$ 的动能。摩擦力沿途以热的形式带走了 $2{,}280\ \text{J}$。

Key Insight

在秋千上,能量在储存与运动之间来回流转,但总量保持不变,直到摩擦力慢慢把它偷走。忽略摩擦力,过山车在第一个坡顶和坡底具有相同的机械能:在低处快,在高处慢,总量从不改变。这正是这个想法的实用之处。能量守恒无需知道路径、坡的形状或所用的时间就能给出速度;牛顿定律要求完整的轨迹,而能量方法只需要两个瞬间的快照。