开普勒定律
kāi pǔ lè dìng lǜ
开普勒三大定律描述了行星的运动规律：轨道是椭圆，行星在相等时间内扫过相等的面积，周期的平方与距离的立方成正比。
Formula
T^2 \propto a^3
Definition
开普勒定律是描述行星如何绕太阳运动的三条规律：轨道是椭圆而不是圆形；行星距太阳越近，运动速度越快；距离太阳越远的行星，绕行一周所需的时间也长得多。准确地说：每颗行星都沿一个以太阳为一个焦点的椭圆轨道运行；从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因此行星在近日点运动最快，在远日点运动最慢；周期的平方与平均距离的立方成正比，即 $T^2 = a^3$，其中 $T$ 以年为单位，$a$ 以AU为单位。这三条定律都可以从牛顿的万有引力定律推导出来：平方反比力导致轨道呈圆锥曲线，角动量守恒导致相等的扫过面积，而把引力与向心加速度结合起来，则得到 $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G(M + m)}\,a^3$，当 $M$ 为太阳质量、$m$ 可忽略不计时，这一公式就简化为最简单的形式。这条推广后的第三定律，是天文学中测定天体质量最主要的工具。
Example
地球绕太阳一周需要 $1$ 年，而距离约是地球 $5$ 倍远的木星，则需要将近 $12$ 年。对于半长轴 $a = 1.52$ AU的火星，$T^2 = 1.52^3 \approx 3.51$，所以 $T \approx 1.87$ 年，与观测到的 $687$ 天相符。木星的卫星木卫一，轨道半长轴 $a = 4.22 \times 10^5\ \text{km}$，周期 $T = 1.77$ 天 $= 1.53 \times 10^5\ \text{s}$；求解 $M = 4\pi^2 a^3 / (G T^2)$，可得 $M \approx 1.9 \times 10^{27}\ \text{kg}$，仅凭一颗卫星的轨道数据，就能算出木星的质量。
Key Insight
约翰内斯·开普勒大约在1609年通过研究火星发现了这些定律，那时人们还完全不知道引力的存在；牛顿后来才解释了这些定律成立的原因。第三定律让人们能够由周期求出距离，或由距离求出周期，它适用于绕同一中心天体运行的任何一组天体，无论是木星的卫星还是地球的人造卫星。为了拟合第谷、布拉赫的观测数据，开普勒不得不放弃天体轨道必须是完美圆形这一古老的假设；而牛顿从单一的引力定律推导出全部三条定律，则是人类第一次证明地球与天空遵循着同样的物理规律。