Leyes de Kepler
Las tres leyes de Kepler describen el movimiento planetario: las órbitas son elipses, los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales, y el período al cuadrado escala con la distancia al cubo.
Formula
T^2 \propto a^3
Definition
Las leyes de Kepler son tres reglas sobre cómo se mueven los planetas alrededor del Sol: las órbitas son elipses en lugar de círculos, un planeta se mueve más rápido cuando está más cerca del Sol, y los planetas más lejanos tardan mucho más en dar la vuelta. Dicho con precisión, cada planeta orbita en una elipse con el Sol en un foco; una línea del Sol al planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, así que el planeta es más rápido en el perihelio y más lento en el afelio; y el cuadrado del período es proporcional al cubo de la distancia promedio, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en UA. Las tres se siguen de la gravitación de Newton: la fuerza de inverso al cuadrado produce órbitas de secciones cónicas, la conservación del momento angular produce áreas iguales, y combinar la gravedad con la aceleración centrípeta produce $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{G(M + m)}\,a^3$, que se reduce a la forma simple cuando $M$ es el Sol y $m$ es despreciable. La tercera ley generalizada es la herramienta principal para medir masas en toda la astronomía.
Example
La Tierra tarda $1$ año en orbitar el Sol, mientras que Júpiter, a unas $5$ veces más lejos, tarda casi $12$. Para Marte a $a = 1.52$ UA, $T^2 = 1.52^3 \approx 3.51$, así que $T \approx 1.87$ años, coincidiendo con los $687$ días observados. La luna Ío de Júpiter orbita a $a = 4.22 \times 10^5\ \text{km}$ con $T = 1.77$ días $= 1.53 \times 10^5\ \text{s}$, y resolviendo $M = 4\pi^2 a^3 / (G T^2)$ se obtiene $M \approx 1.9 \times 10^{27}\ \text{kg}$, la masa de Júpiter a partir de la órbita de una sola luna.
Key Insight
Johannes Kepler descubrió estas leyes alrededor de 1609 estudiando Marte, antes de que nadie supiera sobre la gravedad, y Newton después explicó por qué se cumplen. La tercera ley da la distancia de un planeta a partir de su período o su período a partir de su distancia, y funciona para cualquier familia de objetos que orbiten el mismo cuerpo central, desde las lunas de Júpiter hasta los satélites de la Tierra. Kepler tuvo que abandonar la suposición antigua de círculos perfectos para ajustar los datos de Tycho Brahe, y la derivación de Newton de las tres leyes a partir de una sola fuerza fue la primera demostración de que la misma física gobierna la Tierra y los cielos.