半衰期
bàn shuāi qī
半衰期是样本中放射性同位素原子有一半衰变为另一种同位素所需要的时间。
Formula
N(t) = N_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}
Definition
半衰期是指某种物质中一半的放射性原子转变为另一种原子所需要的时间：经过一个半衰期后，还剩下一半；经过两个半衰期后，还剩下四分之一。半衰期记作 $t_{1/2}$，对每种同位素而言都是恒定的，不受温度、压力或化学状态的影响，由于母体与子体的比例会以可预测的方式变化，半衰期因此成为放射性定年的基础；经过 $n$ 个半衰期后，剩余母体的比例为 $\left(\tfrac{1}{2}\right)^n$。半衰期源自一级衰变动力学规律 $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$，由此可得 $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$。衰变是一种量子力学过程，每个原子在单位时间内都有固定的衰变概率，因此单个原子的衰变是随机的，而大量原子的整体行为却严格遵循指数规律。半衰期的范围从不到一秒到超过 $10^{15}$ 年不等，而适合用来对样本定年的有效范围大致是 $0.1$ 到 $10$ 个半衰期，超出这一范围，母体或子体的含量就会变得过于稀少，难以精确测量。
Example
碳-14 的半衰期是 $5{,}730$ 年，因此如果一块骨骼最初含有 $100$ 个碳-14 原子，那么经过 $5{,}730$ 年后大约还剩 $50$ 个，经过 $11{,}460$ 年后大约还剩 $25$ 个。一块岩石样本中每 $3$ 个子体原子对应 $1$ 个母体原子，说明母体只剩下四分之一，也就是已经过去了两个半衰期；如果该同位素是半衰期为 $1.25$ 十亿年的钾-40，那么这块岩石的年龄就是 $2.5$ 十亿年。碳-14 通过 β 衰变转变为氮-14，$t_{1/2} = 5{,}730$ 年，对应的 $\lambda = 1.21 \times 10^{-4}\ \text{yr}^{-1}$。一份保留了原始碳-14 含量 $12.5\%$ 的样本，经过了 $3$ 个半衰期，年龄约为 $17{,}190$ 年。
Key Insight
每经过一个半衰期，剩余原子就有一半发生衰变，因此数量永远不会真正归零，只会不断减半。选择同位素时必须与待测年代相匹配：碳-14 对恐龙骨骼毫无用处，因为经过 $66$ 百万年（超过 $11{,}000$ 个半衰期）之后，原有的原子早已一个不剩。半衰期是一种统计学上的表述，而不是对任何单个原子的承诺。一个碳-14 原子可能明天就衰变，也可能要等 $50{,}000$ 年后才衰变，但一份含有 $10^{20}$ 个原子的样本，其减半过程却精确得可以用来校准时钟。