量纲分析
liàng gāng fēn xī
量纲分析是在一次计算过程中追踪单位、像消去因子一样把它们消去，从而检查和换算结果的方法。
Definition
量纲分析是一种解决单位问题的方法：把单位写在数字旁边，把分子分母上成对出现的单位划掉，直到只剩下你想要的单位为止。因子标签法把单位当作可以相乘、相除、相消的代数量来处理，所以解决问题的方式是把换算因子串联起来，直到起始单位消失，算式随之得出答案；它也能用来检验公式，因为一个成立的方程两边必须具有相同的单位。更广泛地说，它能验证方程在量纲上是否一致，暴露缺失的常数，并能根据涉及的变量预测一种关系可能具有的形式。$\sin$、$\exp$ 这类函数的自变量必须是无量纲的。
Example
$3$ 分钟有多少秒：$3\ \text{min} \times \frac{60\ \text{s}}{1\ \text{min}}$，“min”被消去，剩下 $180\ \text{s}$。一辆小车在 $1.8\ \text{s}$ 内行进 $150\ \text{cm}$，速度为 $\frac{150\ \text{cm}}{1.8\ \text{s}} \times \frac{1\ \text{m}}{100\ \text{cm}} = 0.83\ \text{m/s}$，而 $\frac{13.5\ \text{g}}{5.0\ \text{cm}^3} = 2.7\ \text{g/cm}^3$ 通过单位确认了密度是质量除以体积，而不是反过来。从高度 $h$ 出发的小车速度只能依赖于 $h$ 和 $g$，唯一具有速度量纲的组合是 $\sqrt{gh}$，因为 $\sqrt{\text{m/s}^2 \times \text{m}} = \text{m/s}$；这种方法给不出 $v = \sqrt{2gh}$ 中的 $\sqrt{2}$，但它能预测出 $h$ 翻倍会使 $v$ 变为原来的 $\sqrt{2}$ 倍。
Key Insight
如果单位消去后不是你想要的结果，说明这个分数被搭反了，把它倒过来再试一次。单位是每一次计算免费自带的检查手段，如果你想要速度却得到了 $\text{s/m}$，那么在你去看数字之前，这就已经告诉你分数被搭反了。一个量纲一致的方程仍然可能是错的，但一个量纲不一致的方程一定是错的，所以检查量纲是排除一个错误公式最快的方法。