Análisis Dimensional
El análisis dimensional es el método de seguir las unidades a lo largo de un cálculo, cancelándolas como factores para comprobar y convertir resultados.
Definition
El análisis dimensional es una manera de resolver problemas de unidades escribiendo las unidades junto a los números y tachándolas en pares, arriba y abajo, hasta que solo queda la unidad que quieres. El método de factor-etiqueta trata las unidades como cantidades algebraicas que se multiplican, dividen y cancelan, así que un problema se resuelve encadenando factores de conversión hasta que la unidad inicial desaparece y la aritmética se sigue del planteamiento; también sirve para comprobar fórmulas, ya que ambos lados de una ecuación válida deben tener las mismas unidades. De manera más amplia, verifica que las ecuaciones sean dimensionalmente homogéneas, expone constantes faltantes y puede predecir la forma de una relación a partir de las variables involucradas. Los argumentos de funciones como $\sin$ y $\exp$ deben ser adimensionales.
Example
Segundos en $3$ minutos: $3\ \text{min} \times \frac{60\ \text{s}}{1\ \text{min}}$, y el "min" se cancela para dejar $180\ \text{s}$. Un carrito que recorre $150\ \text{cm}$ en $1.8\ \text{s}$ tiene una velocidad de $\frac{150\ \text{cm}}{1.8\ \text{s}} \times \frac{1\ \text{m}}{100\ \text{cm}} = 0.83\ \text{m/s}$, y $\frac{13.5\ \text{g}}{5.0\ \text{cm}^3} = 2.7\ \text{g/cm}^3$ confirma, por sus unidades, que la densidad es masa entre volumen y no al revés. La velocidad de un carrito a partir de una altura $h$ solo puede depender de $h$ y $g$, y la única combinación con dimensiones de velocidad es $\sqrt{gh}$, ya que $\sqrt{\text{m/s}^2 \times \text{m}} = \text{m/s}$; el método no puede darte el $\sqrt{2}$ en $v = \sqrt{2gh}$, pero sí predice que duplicar $h$ multiplica $v$ por $\sqrt{2}$.
Key Insight
Si las unidades no se cancelan hasta dar lo que quieres, la fracción se planteó al revés; inviértela e inténtalo de nuevo. Las unidades son una revisión de errores gratuita en cada cálculo, y una respuesta en $\text{s/m}$ cuando querías velocidad te dice que la fracción estaba invertida incluso antes de mirar el número. Una ecuación dimensionalmente consistente todavía puede estar equivocada, pero una dimensionalmente inconsistente siempre está equivocada, así que revisar las dimensiones es la manera más rápida de rechazar una fórmula mala.