x坐标
x zuò biāo
x坐标是有序数对中的第一个数，表示一个点相对原点的水平距离和方向。
Definition
x坐标（也叫横坐标）是有序数对 $(x, y)$ 中的第一个数：它告诉你从原点向左或向右移动多远，正数表示向右，负数表示向左；对于函数 $f$，它代表输入（自变量）。从几何上看，它是点在x轴上的投影，形式上是应用由 $\pi_1(x, y) = x$ 定义的线性投影 $\pi_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 的结果，等价于该点与单位向量 $e_1 = (1, 0)$ 的点积；在以 $\{u, v\}$ 为基的旋转坐标系中，"x坐标"变为 $p \cdot u / |u|$。
Example
在点 $(6, 2)$ 中，x坐标是 $6$，意味着向右移动 $6$ 格；而在 $(-4, 3)$ 中，x坐标 $-4$ 意味着向左移动 $4$ 格。求 $(2, 8)$ 和 $(10, 4)$ 中点的x坐标：$x_{mid} = (2 + 10)/2 = 6$，即两个x坐标的平均值。在 $45$ 度旋转下，点 $(3, 1)$ 在旋转坐标系中的新x坐标是 $3\cos(45^\circ) + 1\sin(45^\circ) = (3 + 1)/\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
Key Insight
读有序数对时始终从左到右，先x后y；可以记成"字母表中x排在y前面"来帮助记住顺序。从几何上看，从一个点向x轴作垂线，垂足所在的位置就是x坐标，这个想法可以推广到更高维的空间。坐标并不是点本身固有的属性，而是取决于基的选择：改变基（比如旋转坐标轴）会改变所有坐标，而几何上的点本身保持不变，这是区分向量与坐标的核心洞见。