自然数（含零）
zì rán shù (hán líng)
自然数（含零）是任意非负整数：0、1、2、3等，没有分数或小数。
Definition
本词条中的自然数是计数数加上零：$0$、$1$、$2$、$3$、$4$，依此类推，没有小数点或分数部分，构成集合 $W = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$。它与"正整数"词条的区别仅在于是否包含 $0$，并且在加法和乘法下是封闭的：两个这样的数相加或相乘的结果始终还是同类的数。形式上，$W$ 在加法下（单位元为 $0$）和乘法下（单位元为 $1$）都构成交换幺半群，与 $\mathbb{Z}$ 的非负部分同构。
Example
你可以有 $0$、$1$、$2$ 或 $3$ 个苹果，这些数目都属于这一类数，但你不可能有 $2.5$ 个苹果。$5 + 3 = 8$ 和 $4 \times 6 = 24$ 的结果仍属于这一类，但 $3 - 5 = -2$ 却不是，因此这类数在减法下并不封闭。良序原理指出，$W$ 的任意非空子集都存在一个最小元素，这一性质正是数学归纳法和欧几里得算法得以成立的基础。
Key Insight
这类数是我们在现实世界中用来计数的数，再加上表示"一个都没有"的零。它们都是整数，但像 $-1$、$-2$ 这样的负整数不属于其中，因此这类数是整数集的一个子集。$0$ 是否属于"正整数"这一范畴因惯例而异：ISO 80000-2 标准将其纳入其中，但许多教材仍保留单独的类别以避免歧义。