加权平均数
jiā quán píng jūn shù
加权平均数是一种在求平均之前，先把每个值乘以其对应权重、从而赋予某些值更大重要性的平均数。
Formula
\text{Weighted Mean} = \dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}
Definition
加权平均数是一种某些数值权重更大的平均数：你将每个值乘以它应占的权重，再把这些结果相加，最后除以总权重。形式上，它是算术平均数的推广：$\bar{x}_w = \sum w_i x_i / \sum w_i$，其中 $w_i$ 是非负权重，当所有权重相等（$w_i = 1$）时退化为算术平均数。加权平均数是在由归一化权重 $w_i/\sum w_j$ 定义的概率测度下 $X$ 的期望；在调查抽样中，逆概率加权（IPW）设 $w_i = 1/\pi_i$（其中 $\pi_i$ 是入选概率），从而在基于设计的推断下确保对总体均值的无偏估计。
Example
如果某门课的成绩由 $70\%$ 的测验和 $30\%$ 的作业组成，测验平均分为 $85$，作业平均分为 $90$，加权平均数 $= (0.70)(85) + (0.30)(90) = 59.5 + 27 = 86.5$。一个投资组合中 $40\%$ 是 A 股（收益率 $8\%$）、$35\%$ 是 B 股（收益率 $5\%$）、$25\%$ 是 C 股（收益率 $12\%$），加权收益率 $= 0.40(8) + 0.35(5) + 0.25(12) = 7.95\%$。在荟萃分析中，各研究使用逆方差加权进行合并，$w_i = 1/s_i^2$，为更精确的研究赋予更高的权重，合并后的估计是共同效应量的最小方差线性无偏估计量（BLUE）。
Key Insight
当并非所有数值同等重要，或并非所有组的规模相同时，就应使用加权平均数；调查数据常使用抽样权重来调整不等的入选概率，使加权平均数即使在样本非比例的情况下也能代表整个总体。霍维茨-汤普森估计量将逆概率加权扩展到复杂的调查设计中，无论使用何种抽样方案，都能给出总体总量或均值的设计无偏估计。