Media Ponderada
Una media ponderada es un promedio que da más importancia a ciertos valores multiplicando cada uno por su peso asignado antes de promediar.
Formula
\text{Weighted Mean} = \dfrac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}
Definition
Una media ponderada es un promedio donde algunos valores cuentan más que otros: multiplicas cada valor por cuánto debe contar (su peso), sumas esos productos, y divides entre el peso total. Formalmente, es una generalización de la media aritmética: $\bar{x}_w = \sum w_i x_i / \sum w_i$, donde $w_i$ son pesos no negativos, reduciéndose a la media aritmética cuando todos los pesos son iguales ($w_i = 1$). La media ponderada es la esperanza de $X$ bajo una medida de probabilidad definida por los pesos normalizados $w_i/\sum w_j$; en el muestreo de encuestas, la ponderación por probabilidad inversa (IPW) fija $w_i = 1/\pi_i$ (donde $\pi_i$ es la probabilidad de inclusión), asegurando una estimación insesgada de la media poblacional bajo la inferencia basada en el diseño.
Example
Si una calificación es $70\%$ exámenes y $30\%$ tarea, con promedio de exámenes $85$ y promedio de tarea $90$, la media ponderada $= (0.70)(85) + (0.30)(90) = 59.5 + 27 = 86.5$. Un portafolio con $40\%$ en la Acción A (rendimiento $8\%$), $35\%$ en la Acción B (rendimiento $5\%$), y $25\%$ en la Acción C (rendimiento $12\%$) tiene rendimiento ponderado $= 0.40(8) + 0.35(5) + 0.25(12) = 7.95\%$. En un metaanálisis, los estudios se combinan usando ponderación por varianza inversa, $w_i = 1/s_i^2$, asignando mayor peso a los estudios más precisos, y la estimación combinada es el estimador lineal insesgado de varianza mínima (BLUE) del tamaño de efecto común.
Key Insight
Usa una media ponderada siempre que no todos los valores sean igualmente importantes o no todos los grupos tengan el mismo tamaño; los datos de encuestas a menudo usan pesos de muestreo para ajustar por probabilidades desiguales de selección, haciendo que la media ponderada sea representativa de toda la población a pesar de una muestra no proporcional. El estimador de Horvitz-Thompson extiende la IPW a diseños de encuestas complejos, dando un estimador insesgado por diseño para cualquier total o media poblacional sin importar el esquema de muestreo usado.