频率
pín lǜ
频率是周期函数在单位区间内完成的完整循环次数，等于周期的倒数。
Formula
\text{frequency} = \frac{1}{\text{period}} = \frac{|B|}{2\pi}
Definition
频率告诉你在单位时间或单位距离内完整波形循环发生的次数；高频率意味着波重复得快，低频率意味着波重复得慢。对于 $y = A\sin(Bx + C) + D$，频率 $= |B|/(2\pi) = 1/\text{Period}$；在物理学中它以赫兹（Hz，每秒周期数）为单位，$y = A\sin(2\pi ft)$ 表示频率为 $f$。角频率 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ 决定了正弦波振荡的快慢，傅里叶变换 $F(\omega) = \int f(t)e^{-i\omega t}\, dt$ 把信号分解为其频率成分。
Example
周期为 $2$ 秒的波，频率 $= 0.5$ 次每秒，而周期为 $0.01$ 秒的波，频率为 $100$ Hz。钢琴上的中央 C 是 $261.63$ Hz，所以它的波 $y = A\sin(2\pi \cdot 261.63t)$ 每秒完成 $261.63$ 个周期。音频 CD 的采样率为 $44{,}100$ Hz，支持高达 $22{,}050$ Hz 的频率，这一选择是为了让整个可听范围（最高约 $20{,}000$ Hz）满足奈奎斯特-香农采样定理。
Key Insight
音调越高，频率越高：狗哨和雾角声都是正弦波，只是频率非常不同，$\sin(Bx)$ 中的因子 $B$ 就是角频率，以弧度每单位来度量，这也是为什么周期公式中会出现 $2\pi$。在量子力学中，频率通过普朗克关系 $E = hf$ 与能量成正比，这使频率成为光与物质的波动描述（经典）与粒子描述（量子）之间的桥梁。