Volumen
El volumen es la medida del espacio tridimensional encerrado dentro de una figura sólida, expresada en unidades cúbicas.
Formula
\text{Varies by solid; measured in cubic units}
Definition
El volumen mide cuánto espacio hay dentro de un objeto tridimensional, expresado en unidades cúbicas como centímetros cúbicos ($\text{cm}^3$) o pies cúbicos ($\text{ft}^3$); cada sólido tiene una fórmula derivada de un área de sección transversal integrada a lo largo de una profundidad. Para prismas y cilindros, $V = \text{base area} \times \text{height}$; para pirámides y conos, $V = (1/3) \times \text{base area} \times \text{height}$. Formalmente, el volumen en $\mathbb{R}^3$ es la medida de Lebesgue tridimensional, calculada como una integral triple $V = \iiint_R dV$; por el principio de Cavalieri, si dos sólidos tienen áreas de sección transversal iguales en cada altura, tienen volúmenes iguales, y para sólidos suaves acotados por una superficie $S$, el teorema de la divergencia da $V = (1/3)\left|\oint_S r \cdot n \, dA\right|$.
Example
Una caja de $4$ cm de largo, $3$ cm de ancho y $2$ cm de alto tiene volumen $4 \times 3 \times 2 = 24$ cm$^3$, justo lo suficiente para empacar $24$ cubitos de $1$ cm. Un prisma rectangular $5 \times 4 \times 3$ m tiene $V = 60$ m$^3$, y un cilindro con radio $3$ cm y altura $10$ cm tiene $V = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi = 282.7$ cm$^3$; duplicar cada dimensión multiplica el volumen por $8$. El principio de Cavalieri demuestra que una esfera de radio $r$ y un cilindro de radio $r$ y altura $2r$ con un doble cono removido tienen volúmenes iguales, un elegante "método de los indivisibles" que precede al cálculo y que fue usado por Arquímedes.
Key Insight
El volumen responde "¿cuánto cabe dentro?" mientras que el área de superficie responde "¿cuánta envoltura se necesita?" El volumen escala como el cubo de las dimensiones lineales, por lo que una figura escalada por un factor $k$ tiene un volumen $k^3$ veces el original, razón por la cual las hormigas pueden cargar objetos muchas veces su peso pero los gigantes de los cuentos colapsarían bajo su propia masa. El factor de $1/3$ en las fórmulas de volumen de pirámides y conos surge de integrar una sección transversal que decrece linealmente; Arquímedes descubrió que el volumen de una esfera es exactamente $2/3$ del volumen de su cilindro circunscrito, un resultado que consideraba su mayor logro.