棱柱的体积
léng zhù de tǐ jī
棱柱的体积等于底面积乘以高。
Formula
V = B \times h
Definition
求任意棱柱（无论是直棱柱还是斜棱柱）的体积，只需把底面面积乘以两底之间的垂直高，$V = Bh$；难点始终在于求出底面面积，但对每种多边形底面而言公式本身都是相同的。这可以从卡瓦列里原理得出，因为每一个平行于底面的截面都与底面全等。作为积分，$$V = \int_0^h B \, dz = Bh,$$ 这可以推广到沿一条轴具有恒定横截面 $A$ 的任意立体图形，$V = Ah$，使它与圆柱公式完全一致；用向量表示，对于以边向量 $u$、$v$ 和高向量 $w$ 构成平行四边形底面的棱柱，$V = |\det([u,v,w])|$，这是把平行四边形面积表示为 $2 \times 2$ 行列式的三维类比。
Example
三角形底面积为 $15$ cm$^2$、高为 $8$ cm 的三棱柱，$V = 15 \times 8 = 120$ cm$^3$；一个 $5 \times 4 \times 6$ 的长方体，底面积为 $20$，$V = 20 \times 6 = 120$ cm$^3$。一个正六边形底面（边长 $4$ cm，面积 $= (3\sqrt{3}/2)(16) = 41.57$ cm$^2$）、高 $10$ cm 的六棱柱，$V = 41.57 \times 10 = 415.7$ cm$^3$。对于以向量 $u=(3,1,0)$ 和 $v=(1,3,0)$ 为边、高向量 $w=(0,0,5)$ 构成平行四边形底面的棱柱，底面积 $= |u \times v| = 8$，所以 $V = 8 \times 5 = 40$，与 $V = \left|\det\begin{bmatrix}3&1&0\\1&3&0\\0&0&5\end{bmatrix}\right| = |5(9-1)| = 40$ 相符。
Key Insight
每个棱柱，无论底面是什么多边形，一旦求出底面积，都使用相同的公式：底面积乘以高。即使棱柱向一侧倾斜，只要底面积和垂直高与直棱柱相匹配，同样的公式对斜棱柱依然成立，这归功于卡瓦列里原理。棱柱体积的行列式公式可以直接推广到平行六面体（以平行四边形为底的棱柱），统一了二维和三维的度量方法。