Volumen de un Prisma
El volumen de un prisma es igual al área de su base multiplicada por su altura.
Formula
V = B \times h
Definition
Para hallar el volumen de cualquier prisma (recto u oblicuo), multiplica el área de la base por la altura perpendicular entre las dos bases, $V = Bh$; la parte difícil siempre es hallar el área de la base, pero la fórmula misma es la misma para cada polígono base. Esto se sigue del principio de Cavalieri, ya que toda sección transversal paralela a las bases es congruente con la base. Como integral, $$V = \int_0^h B \, dz = Bh,$$ lo cual se generaliza a cualquier sólido con sección transversal constante $A$ a lo largo de un eje, $V = Ah$, haciéndola idéntica a la fórmula del cilindro; en forma vectorial, para un prisma sobre una base de paralelogramo con vectores de arista $u$, $v$, y vector de altura $w$, $V = |\det([u,v,w])|$, el análogo 3D del área del paralelogramo como determinante $2 \times 2$.
Example
Un prisma triangular con una base triangular de área $15$ cm$^2$ y altura $8$ cm tiene $V = 15 \times 8 = 120$ cm$^3$; un prisma rectangular $5 \times 4 \times 6$ tiene área de base $20$ y $V = 20 \times 6 = 120$ cm$^3$. Un prisma hexagonal con base de hexágono regular de lado $4$ cm (área $= (3\sqrt{3}/2)(16) = 41.57$ cm$^2$) y altura $10$ cm tiene $V = 41.57 \times 10 = 415.7$ cm$^3$. Para un prisma sobre una base de paralelogramo con vectores $u=(3,1,0)$ y $v=(1,3,0)$ y vector de altura $w=(0,0,5)$, el área de la base $= |u \times v| = 8$, así que $V = 8 \times 5 = 40$, coincidiendo con $V = \left|\det\begin{bmatrix}3&1&0\\1&3&0\\0&0&5\end{bmatrix}\right| = |5(9-1)| = 40$.
Key Insight
Todo prisma, sin importar qué polígono sea la base, usa la misma fórmula, área de la base por altura, una vez que has hallado el área de la base. La misma fórmula funciona para prismas oblicuos incluso si el prisma se inclina hacia un lado, siempre que el área de la base y la altura perpendicular coincidan con las de un prisma recto, gracias al principio de Cavalieri. La fórmula del determinante para el volumen del prisma se generaliza directamente al paralelepípedo (un prisma sobre una base de paralelogramo), unificando la medición 2D y 3D.