Volumen de un Cono
El volumen de un cono es un tercio de $\pi$ por el radio al cuadrado por la altura.
Formula
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h
Definition
El volumen de un cono con radio de base $r$ y altura perpendicular $h$ es $V = (1/3)\pi r^2 h$, exactamente un tercio del cilindro $V = \pi r^2 h$ con la misma base y altura, ya que el área de la sección transversal disminuye linealmente desde la base hasta el ápice. Duplicar solo la altura duplica el volumen, mientras que duplicar solo el radio lo cuadruplica. Como integral, $$V = \int_0^h \pi \left(\frac{rz}{h}\right)^2 dz = \frac{\pi r^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{1}{3}\pi r^2 h,$$ donde la sección transversal a la altura $z$ es un disco de radio $r(z/h)$, escalando linealmente desde $0$ en el ápice hasta $r$ en la base; la misma fórmula se cumple para un cono oblicuo, con $h$ la altura perpendicular desde el ápice hasta el plano de la base, por el principio de Cavalieri.
Example
Un cono de helado con radio $4$ cm y altura $9$ cm tiene $V = (1/3) \times \pi \times 16 \times 9 = 48\pi = 150.8$ cm$^3$. Un volcán modelado como un cono con radio de base $5$ km y altura $3$ km tiene $V = (1/3)\pi \cdot 25 \cdot 3 = 25\pi = 78.5$ km$^3$. Para un cono oblicuo, se aplica la misma fórmula con $h$ como la altura perpendicular, ya que cada sección transversal horizontal tiene la misma área que en el cono recto a la misma altura.
Key Insight
Llena un cono con agua, luego vacíalo en un cilindro con el mismo radio y altura: necesitas exactamente $3$ conos para llenar el cilindro, de donde viene el $1/3$ en la fórmula. Este factor equivale a integrar $x^2$ de $0$ a $1$, lo que da $1/3$; toda figura que se estrecha hasta un punto (pirámides y conos) tiene este mismo factor de $1/3$, una consecuencia universal de cómo escala el área de la sección transversal con el cuadrado de la distancia al ápice.