竖直平移
shù zhí píng yí
竖直平移是一种沿 y 轴方向将函数图像向上或向下移动的变换。
Formula
g(x) = f(x) + k
Definition
竖直平移把一个函数的图像直接向上或向下移动：把 $f(x)$ 变换为 $f(x) + k$，当 $k > 0$ 时图像向上移动 $k$ 个单位，当 $k < 0$ 时向下移动 $|k|$ 个单位，$y$ 截距和每一个 $y$ 值都改变了 $k$。这是对平移 $T_k: y \to y + k$ 的后复合，作用在值域上；在泛函分析中，把一个函数平移一个常数相当于把这个常数函数加到 $f$ 上，对周期函数而言，竖直平移只改变均值，不改变周期或频率。
Example
$f(x) = x^2$ 的顶点是 $(0, 0)$；$g(x) = x^2 + 4$ 把它向上平移 $4$ 个单位，$h(x) = x^2 - 3$ 把它向下平移 $3$ 个单位。$f(x) = |x|$ 经过 $(0,0)$、$(1,1)$、$(-1,1)$，而 $g(x) = |x| - 5$ 经过 $(0,-5)$、$(1,-4)$、$(-1,-4)$，每一个 $y$ 值都减少了 $5$。在傅里叶分析中，竖直平移 $k$ 会在频谱中加上 $k \cdot \delta(w)$ 项，即在频率 $0$ 处出现一个尖峰，在工程语境中代表直流偏置。
Key Insight
给整个函数的输出加上一个数会使图像向上移动，减去则向下移动，这比水平平移更简单，因为方向与符号一致；竖直平移也会影响值域：若 $f(x)$ 的值域是 $[0, \infty)$，则 $f(x) + k$ 的值域是 $[k, \infty)$，任何水平渐近线 $y = c$ 都变为 $y = c + k$。竖直平移与水平平移合在一起构成一般的平移变换，在仿射几何中，平移构成仿射群的一个子群，证实了平移的复合仍然是平移。