Desplazamiento Vertical
Un desplazamiento vertical es una transformación que mueve la gráfica de una función hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje y.
Formula
g(x) = f(x) + k
Definition
Un desplazamiento vertical mueve la gráfica de una función directamente hacia arriba o hacia abajo: transformar $f(x)$ en $f(x) + k$ mueve la gráfica $k$ unidades hacia arriba si $k > 0$ y $|k|$ unidades hacia abajo si $k < 0$, cambiando la intersección con el eje $y$ y cada valor de $y$ en $k$. Es una poscomposición con la traslación $T_k: y \to y + k$, actuando sobre el rango; en análisis funcional, desplazar una función por una constante corresponde a sumar la función constante a $f$, y para funciones periódicas un desplazamiento vertical cambia solo el valor medio, no el período ni la frecuencia.
Example
$f(x) = x^2$ tiene vértice $(0, 0)$; $g(x) = x^2 + 4$ lo desplaza $4$ unidades hacia arriba y $h(x) = x^2 - 3$ lo desplaza $3$ unidades hacia abajo. $f(x) = |x|$ pasa por $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,1)$, mientras que $g(x) = |x| - 5$ pasa por $(0,-5)$, $(1,-4)$, $(-1,-4)$, cada valor de $y$ disminuyendo en $5$. En análisis de Fourier, un desplazamiento vertical de $k$ suma $k \cdot \delta(w)$ al espectro, un pico en la frecuencia $0$ que representa un desplazamiento de corriente continua (DC) en contextos de ingeniería.
Key Insight
Sumar a la salida de toda la función desplaza la gráfica hacia arriba mientras que restar la desplaza hacia abajo, lo cual es más simple que los desplazamientos horizontales porque la dirección coincide con el signo; un desplazamiento vertical también afecta el rango, si $f(x)$ tiene rango $[0, \infty)$, entonces $f(x) + k$ tiene rango $[k, \infty)$, y toda asíntota horizontal $y = c$ se convierte en $y = c + k$. Los desplazamientos verticales y horizontales juntos producen una traslación general, y en geometría afín, las traslaciones forman un subgrupo del grupo afín, confirmando que las composiciones de desplazamientos también son desplazamientos.