竖线检验法
shù xiàn jiǎn yàn fǎ
竖线检验法通过检查是否有竖直线与图像相交超过一次,来判断一个图像是否表示函数。
Definition
竖线检验法是一种直观判断一个图像是否表示关于 $x$ 的函数的方法：在图像上画出（或想象）若干条竖直线，如果任意一条竖直线与图像相交于两点或更多点，这个图像就不是函数。严格地说，$xy$ 平面上的一条曲线表示关于 $x$ 的函数，当且仅当每一条竖直线 $x = c$ 与曲线至多相交一次，这也重述了如下要求：$\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ 上的一个关系 $R$ 是关于 $x$ 的函数，当且仅当对所有 $c \in \mathbb{R}$，集合 $\{y : (c, y) \in R\}$ 至多含有一个元素。
Example
圆无法通过这个检验：一条穿过圆心的竖直线会与圆相交两次，一次在上方，一次在下方；而一条非竖直的直线则可以通过检验。$y = x^3$ 通过检验（每个 $x$ 对应一个 $y$），但 $x = y^2$ 不能通过，因为当 $x = 4$ 时，$y = 2$ 和 $y = -2$ 都在图像上。像 $x^2 + y^2 = 1$ 这样的隐函数曲线整体上无法通过检验，但只要关于 $y$ 的偏导数不为零，隐函数定理就能保证它在局部定义出一个函数。
Key Insight
这个检验之所以有效，是因为函数要求每个输入只能对应一个输出：如果一条竖直线与图像相交两次，说明有一个 $x$ 值对应两个 $y$ 值，破坏了函数的规则。一条不通过检验的曲线仍然可能定义出关于 $y$ 的函数，或者可以被拆分成若干段，每一段都能通过检验，例如圆的上半圆和下半圆。隐函数定理把这一检验推广到更高维度，保证在雅可比矩阵非奇异的点附近，隐方程能定义出一个局部唯一的函数。