Prueba de la Línea Vertical
La prueba de la línea vertical determina si una gráfica representa una función comprobando que ninguna línea vertical la cruce más de una vez.
Definition
La prueba de la línea vertical es una manera visual de determinar si una gráfica representa una función de $x$: traza o imagina líneas verticales a lo largo de la gráfica, y si alguna línea vertical cruza la gráfica en dos o más puntos, no es una función. Formalmente, una curva en el plano $xy$ representa una función de $x$ si y solo si toda línea vertical $x = c$ interseca la curva a lo sumo una vez, lo que reformula el requisito de que una relación $R$ en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ sea una función de $x$ si y solo si para todo $c \in \mathbb{R}$, el conjunto $\{y : (c, y) \in R\}$ tiene a lo sumo un elemento.
Example
Un círculo no pasa la prueba: una línea vertical por el medio lo corta dos veces, una vez arriba y una vez abajo, mientras que una línea recta no vertical sí la pasa. $y = x^3$ pasa la prueba (cada $x$ da un solo $y$), pero $x = y^2$ no la pasa ya que en $x = 4$ tanto $y = 2$ como $y = -2$ están en la gráfica. Curvas implícitas como $x^2 + y^2 = 1$ no pasan la prueba globalmente pero definen funciones locales mediante el teorema de la función implícita en cualquier lugar donde la derivada parcial respecto a $y$ sea distinta de cero.
Key Insight
La prueba funciona porque una función permite solo una salida por entrada: si una línea vertical cruza la gráfica dos veces, un valor de $x$ tiene dos valores de $y$, rompiendo la regla de función. Una curva que no pasa la prueba aún puede definir una función de $y$, o puede dividirse en partes que cada una la pase, como los semicírculos superior e inferior de un círculo. El teorema de la función implícita generaliza la prueba a dimensiones superiores, garantizando que cerca de un punto donde el jacobiano no es singular, una ecuación implícita define una función localmente única.