Ángulos Opuestos por el Vértice
Los ángulos opuestos por el vértice son los pares de ángulos enfrentados que se forman cuando dos rectas se cruzan, y siempre son iguales en medida.
Formula
\text{vertical angle } A = \text{vertical angle } B
Definition
Cuando dos rectas se cruzan, forman cuatro ángulos; los ángulos opuestos por el vértice son los dos pares directamente enfrentados en la intersección, y siempre son iguales, el Teorema de los Ángulos Opuestos por el Vértice. Surgen de la simetría de dos rectas que se intersecan respecto a su punto de intersección: una rotación de $180^\circ$ alrededor de ese punto lleva cada recta sobre sí misma y cada ángulo a su ángulo opuesto por el vértice, estableciendo su congruencia mediante esta isometría.
Example
Cuando dos calles se cruzan en forma de X, los ángulos diagonalmente opuestos entre sí son ángulos opuestos por el vértice: si uno es $50^\circ$, el ángulo directamente enfrentado también es $50^\circ$. Las rectas $m$ y $n$ que se intersecan en $P$ forman los ángulos $1, 2, 3, 4$ en orden; los ángulos $1$ y $3$ son opuestos por el vértice (congruentes), los ángulos $2$ y $4$ son opuestos por el vértice (congruentes), y los ángulos $1$ y $2$ forman un par lineal (suplementarios). La reflexión puntual $(x,y) \to (2h-x, 2k-y)$ respecto a la intersección $(h,k)$ intercambia cada ángulo con su ángulo opuesto por el vértice.
Key Insight
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales porque cada uno es suplementario del mismo ángulo: ángulo $1$ + ángulo $2$ = $180$ y ángulo $3$ + ángulo $2$ = $180$, así que ángulo $1$ = ángulo $3$. A pesar de llamarse "verticales" en inglés, no tienen que ver con la orientación arriba-abajo, el nombre viene simplemente del vértice compartido. Esta demostración es una de las primeras en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 15), y muestra cómo un solo postulado, que los ángulos llanos suman $180^\circ$, puede establecer un hecho geométrico nada obvio.