抛物线的顶点
pāo wù xiàn de dǐng diǎn
抛物线的顶点是它的最高点或最低点，对一般式的二次函数而言，其坐标为 (-b/(2a), f(-b/(2a)))。
Formula
x = \frac{-b}{2a}
Definition
抛物线的顶点是它的转折点：如果抛物线开口向下，顶点就是最高点，如果开口向上，顶点就是最低点，是图像上唯一的最高值或最低值。对标准式 $y = ax^2 + bx + c$ 而言，顶点的横坐标为 $x = \frac{-b}{2a}$（代回求纵坐标），而在顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$ 中，顶点直接就是 $(h, k)$；当 $a > 0$ 时是最小值，当 $a < 0$ 时是最大值。严格地说，顶点是 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 唯一的临界点：令 $f'(x) = 2ax + b = 0$ 得到 $x = -b/(2a)$，由于 $f$ 是严格凸或严格凹的，这个临界点就是全局最小值或最大值，顶点式中的 $k$ 就代表这个最优值。
Example
对 $y = x^2 - 4x + 3$ 而言，顶点在 $x = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$ 处，$y = 4 - 8 + 3 = -1$，所以顶点 $(2, -1)$ 是这条开口向上的抛物线的最低点。对 $y = -2x^2 + 8x - 5$ 而言，$x_{\text{vertex}} = 2$，$y_{\text{vertex}} = -8 + 16 - 5 = 3$，由于 $a = -2 < 0$，这是一个最大值。要使成本函数 $C(x) = 0.5x^2 - 10x + 60$ 最小，$x_{\text{vertex}} = 10$，$C(10) = 10$，即最小成本。
Key Insight
顶点是抛物线改变方向的地方，是开口向上的抛物线的最小值，或开口向下的抛物线的最大值，它总是位于对称轴上。求顶点等价于求解一个优化问题：顶点公式是令梯度为零这一方法的特例，这正是多元微积分中用于无约束优化的通用技巧。