Vértice de una Parábola
El vértice de una parábola es su punto más alto o más bajo, ubicado en las coordenadas (-b/(2a), f(-b/(2a))) para una cuadrática en forma estándar.
Formula
x = \frac{-b}{2a}
Definition
El vértice de una parábola es su punto de giro: el punto más alto si la parábola se abre hacia abajo, o el punto más bajo si se abre hacia arriba, el único valor máximo o mínimo de la gráfica. Para una cuadrática en forma estándar $y = ax^2 + bx + c$, la coordenada x del vértice es $x = \frac{-b}{2a}$ (sustituye hacia atrás para la coordenada y), mientras que en la forma de vértice $y = a(x-h)^2 + k$, el vértice es directamente $(h, k)$; es un mínimo cuando $a > 0$ y un máximo cuando $a < 0$. Formalmente, el vértice es el único punto crítico de $f(x) = ax^2 + bx + c$: al igualar $f'(x) = 2ax + b = 0$ se obtiene $x = -b/(2a)$, y dado que $f$ es estrictamente convexa o cóncava, este punto crítico es un mínimo o máximo global, con $k$ en la forma de vértice representando ese valor óptimo.
Example
Para $y = x^2 - 4x + 3$, el vértice está en $x = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$, y $y = 4 - 8 + 3 = -1$, así que el vértice $(2, -1)$ es el punto más bajo de esta parábola que se abre hacia arriba. Para $y = -2x^2 + 8x - 5$, $x_{\text{vertex}} = 2$ y $y_{\text{vertex}} = -8 + 16 - 5 = 3$, un máximo ya que $a = -2 < 0$. Para minimizar una función de costo $C(x) = 0.5x^2 - 10x + 60$, $x_{\text{vertex}} = 10$ y $C(10) = 10$, el costo mínimo.
Key Insight
El vértice es donde la parábola cambia de dirección, el mínimo de una parábola que se abre hacia arriba o el máximo de una que se abre hacia abajo, y siempre se encuentra sobre el eje de simetría. Encontrarlo es equivalente a resolver un problema de optimización: la fórmula del vértice es un caso especial de igualar el gradiente a cero, la técnica general usada en todo el cálculo de varias variables para la optimización sin restricciones.