顶点（三维）
dǐng diǎn (sān wéi)
三维立体图形的顶点是三条或更多条棱相交而成的角点。
Definition
顶点（复数：vertices）是三维图形中至少三条棱（以及至少三个面）相交的角点；正方体有 $8$ 个顶点，每个角一个。根据欧拉公式 $F + V - E = 2$，知道面、顶点、棱中任意两个就能确定第三个。严格地说，凸多面体 $P$ 的一个顶点是满足 $P \setminus \{x\}$ 仍然是凸集的点 $x \in P$，等价地说，是不能表示为 $P$ 中其他点的凸组合的点；顶点是多面体的极点，生成该多面体作为凸包，在线性规划中，最优解恒位于可行多面体的一个顶点上。
Example
棱锥的尖端是所有三角形侧面相交的顶点，正方体的角是 $3$ 条棱和 $3$ 个面相交于一点的顶点。四棱锥有 $5$ 个顶点，$4$ 个底面角和 $1$ 个顶点，其中 $F=5$，$E=8$，$V=5$：核对 $5 + 5 - 8 = 2$。线性规划的单纯形算法沿可行多面体的棱从一个顶点移动到相邻顶点，每次都改进目标函数，一个 $n$ 维多面体顶点数目的最坏情况上界由上界定理给出（麦克马伦，1970年）。
Key Insight
相交于一个顶点的棱越多，这个角就越"尖锐"或越复杂。在凸多面体的每个顶点处，各面角之和小于 $360$ 度；对于正四面体，三个 $60$ 度的三角形在每个顶点相交（$3 \times 60 = 180 < 360$），这种角度亏值决定了多面体的曲率。克赖因-米尔曼定理把顶点的概念推广到无穷维凸集：局部凸空间中的任意紧凸集，都是其极点的闭凸包，这在泛函分析、优化和量子力学中是基础性的。