Vértice (3D)
Un vértice de un sólido 3D es un punto de esquina donde se encuentran tres o más aristas.
Definition
Un vértice (plural: vértices) es un punto esquina de una figura 3D donde se encuentran al menos tres aristas (y al menos tres caras); un cubo tiene $8$ vértices, uno en cada esquina. Por la fórmula de Euler $F + V - E = 2$, conocer dos cualesquiera de caras, vértices y aristas determina el tercero. Formalmente, un vértice de un politopo convexo $P$ es un punto $x \in P$ tal que $P \setminus \{x\}$ sigue siendo convexo, equivalentemente un punto que no es una combinación convexa de otros puntos en $P$; los vértices son los puntos extremos del politopo y lo generan como envolvente convexa, y en programación lineal, la solución óptima siempre está en un vértice del politopo factible.
Example
La punta de una pirámide es un vértice donde se encuentran todos los lados triangulares, y las esquinas de un cubo son vértices donde se encuentran $3$ aristas y $3$ caras en un solo punto. Una pirámide cuadrada tiene $5$ vértices, $4$ esquinas de la base y $1$ ápice, con $F=5$, $E=8$, $V=5$: comprueba $5 + 5 - 8 = 2$. El algoritmo símplex para programación lineal se mueve de vértice a vértice adyacente a lo largo de las aristas del politopo factible, mejorando siempre la función objetivo, con el número máximo de vértices de un politopo $n$-dimensional dado por el teorema de la cota superior (McMullen, 1970).
Key Insight
Cuantas más aristas se encuentren en un vértice, más "aguda" o compleja es la esquina. En cada vértice de un poliedro convexo, la suma de los ángulos de las caras es menor que $360$ grados; para un tetraedro regular, tres triángulos de $60$ grados se encuentran en cada vértice ($3 \times 60 = 180 < 360$), y este déficit angular determina la curvatura del poliedro. El teorema de Krein-Milman generaliza el concepto de vértice a conjuntos convexos de dimensión infinita: cualquier conjunto convexo compacto en un espacio localmente convexo es la envolvente convexa cerrada de sus puntos extremos, fundamental en análisis funcional, optimización y mecánica cuántica.