Vector
Un vector es un objeto matemático con magnitud (tamaño) y dirección, representado por una flecha o como una lista de componentes.
Formula
v = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle
Definition
Un vector tiene dos propiedades: tamaño (magnitud) y dirección; una flecha que apunta hacia el noreste con cierta longitud es un vector, mientras que solo una longitud sin dirección es un escalar. Formalmente, un vector en $\mathbb{R}^n$ es una $n$-tupla ordenada de números reales $v = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$, sumada componente a componente, $u + v = (u_1+v_1, \ldots, u_n+v_n)$, y escalada, $cv = (cv_1, \ldots, cv_n)$, con magnitud $|v| = \sqrt{v_1^2 + \ldots + v_n^2}$. De forma más abstracta, un espacio vectorial sobre el cuerpo $F$ es un conjunto $V$ con suma y multiplicación escalar que satisface $8$ axiomas (clausura, asociatividad, conmutatividad, identidad, inversos, distributividad); $\mathbb{R}^n$, los polinomios, las funciones continuas y las matrices son todos espacios vectoriales, y las aplicaciones lineales entre ellos son los morfismos del álgebra lineal.
Example
El viento soplando a $20$ mph hacia el norte es un vector, mientras que una temperatura de $70$ grados es un escalar (solo un número, sin dirección). Para $v = (3, 4)$: $|v| = \sqrt{9+16} = 5$; sumando $u = (1, 2)$ y $v = (3, 4)$ se obtiene $u + v = (4, 6)$, coincidiendo con cómo se suman los vectores de desplazamiento en física. El espacio de funciones continuas $C([0,1])$ es un espacio vectorial de dimensión infinita, y la serie de Fourier representa funciones como combinaciones lineales infinitas de los vectores base $\sin(nx)$ y $\cos(nx)$.
Key Insight
Los vectores permiten a las matemáticas describir cosas que apuntan hacia algún lugar: velocidad, fuerza, desplazamiento, campos eléctricos. La abstracción a espacios vectoriales unifica matemáticas diversas: las soluciones de las EDP forman espacios de funciones, los estados cuánticos son vectores en el espacio de Hilbert, y los códigos correctores de errores son subespacios de $\mathbb{F}_2^n$.