单位比率
dān wèi bǐ lǜ
单位比率是分母为1的比率，表示另一个量每一个单位对应多少这一量。
Formula
\text{unit rate} = \frac{\text{total quantity}}{\text{number of units}}
Definition
单位比率告诉你每一个单位对应的量，"每"意味着"对每一个"：每小时$60$英里的速度、每磅$\$3$的价格、每分钟$80$个字，都是单位比率。形式上，单位比率是比率$a/b$，其中$b = 1$，通过把两个量都除以第二个量的值来求得，它是比较分母共享单位的比率的标准形式。它也是比例关系$y = kx$中的比例常数（斜率）；在微积分中，瞬时比率（导数）是当分母区间趋于$0$时平均比率的极限，在统计学中，归一化为单位比率正是标准化背后的运算，例如$z$分数，它表示"每$1$单位离均值的标准差数"。
Example
一包$6$盒果汁卖$\$4.80$，单位比率是$\$4.80/6 = \$0.80$每盒，与一包$4$盒卖$\$3.20$的单价相同（$\$3.20/4 = \$0.80$），这使得两包可以直接比较，尽管总价不同。一辆车用$8$加仑跑了$240$英里，单位比率是每加仑$30$英里，相比之下用$12$加仑跑$300$英里是每加仑$25$英里，说明第一辆车的燃油效率更高。人口密度也是一种单位比率：$340$平方英里内有$850{,}000$人，即每平方英里$2{,}500$人，这个数字使得规模迥异的城市之间可以进行有意义的比较。
Key Insight
单位比率让比较变得公平：你不能直接比较"$6$份$4.80美元"和"$4$份$3.20美元"，但你可以比较每盒$\$0.80$与每盒$\$0.80$，让一切都站在同一水平上。如果你把比例关系的两个量画出来，单位比率恰好就是通过原点的那条直线的斜率，每一个比例关系都以单位比率作为其斜率。归一化为单位比率是标准化的基本运算：$Z$分数把原始测量值转化为无单位的"每$1$单位离均值的标准差数"这一比率，使得完全不同的测量尺度之间也能够比较，是单位比率在统计学中的类比。