Tasa Unitaria
Una tasa unitaria es una tasa con denominador 1, que expresa cuánto de una cantidad hay por cada unidad de otra.
Formula
\text{unit rate} = \frac{\text{total quantity}}{\text{number of units}}
Definition
Una tasa unitaria indica la cantidad por una sola unidad de algo, "por" significa "por cada uno": una velocidad de $60$ millas por hora, un precio de $\$3$ por libra, y $80$ palabras por minuto son todas tasas unitarias. Formalmente, una tasa unitaria es una tasa $a/b$ donde $b = 1$, obtenida dividiendo ambas cantidades entre el valor de la segunda cantidad, y es la forma estándar para comparar tasas que comparten una unidad en el denominador. También es la constante de proporcionalidad (la pendiente) en una relación proporcional $y = kx$; en cálculo, las tasas instantáneas (derivadas) son el límite de las tasas promedio cuando el intervalo del denominador se aproxima a $0$, y en estadística, normalizar a una tasa unitaria es la operación detrás de la estandarización, como las puntuaciones $z$, que expresan "desviaciones estándar por cada $1$ unidad desde la media".
Example
Un paquete de $6$ cajas de jugo que cuesta $\$4.80$ tiene una tasa unitaria de $\$4.80/6 = \$0.80$ por caja, el mismo precio unitario que un paquete de $4$ por $\$3.20$ ($\$3.20/4 = \$0.80$), lo que hace que los dos paquetes sean directamente comparables aunque los totales difieran. Un auto que recorre $240$ millas con $8$ galones tiene una tasa unitaria de $30$ millas por galón, contra $300$ millas con $12$ galones a $25$ mpg, mostrando que el primer auto es más eficiente en combustible. La densidad de población también es una tasa unitaria: $850{,}000$ personas en $340$ millas cuadradas son $2{,}500$ personas por milla cuadrada, una cifra que permite una comparación significativa entre ciudades de tamaños muy distintos.
Key Insight
Las tasas unitarias hacen que las comparaciones sean justas: no puedes comparar directamente "$4.80 por 6" con "$3.20 por 4", pero sí puedes comparar $\$0.80$ por caja con $\$0.80$ por caja, poniendo todo en igualdad de condiciones. Si graficas las dos cantidades de una relación proporcional, la tasa unitaria es exactamente la pendiente de la línea que pasa por el origen, toda relación proporcional tiene una tasa unitaria como su pendiente. Normalizar a una tasa unitaria es la operación fundamental de la estandarización: las puntuaciones $Z$ convierten mediciones crudas en una tasa sin unidades de "desviaciones estándar por cada $1$ unidad desde la media", permitiendo comparar entre escalas de medición completamente distintas, el análogo estadístico de una tasa unitaria.