单位分数
dān wèi fēn shù
单位分数是分子为1的分数，表示整体中恰好一份等份。
Formula
\frac{1}{n} \text{ (where } n \text{ is a positive integer)}
Definition
单位分数的分子永远是$1$，表示某物恰好一等份，例如$1/2$、$1/3$、$1/4$等等。形式上，它是形如$1/n$（$n$为正整数）的有理数，任何正分数$a/b$都可以表示为$a$个等于$1/b$的单位分数之和；古埃及人曾用单位分数作为表示所有分数的主要方式。埃尔德什-施特劳斯猜想（尚未证明）指出，对每个整数$n \ge 2$，分数$4/n$都可以写成三个单位分数之和，而埃及分数表示法（不同单位分数之和）是组合数论研究的对象。
Example
$1/4$表示把某物切成$4$等份，取其中一份：一美元的四分之一是$25$美分，即四份$25$美分中的一份。任何分数都可以看作单位分数的叠加，$3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5$，不过古埃及人坚持使用不同的单位分数，他们会写$2/5 = 1/3 + 1/15$，而不是重复使用同一个分数。贪心算法（斐波那契-西尔维斯特算法）能系统地找到这样的表示：$5/7 \to$ 减去$1/2$（因为$1/\lceil 7/5 \rceil = 1/2$）：$5/7 - 1/2 = 3/14 \to$ 再减去$1/5$：$3/14 - 1/5 = 1/70$，所以$5/7 = 1/2 + 1/5 + 1/70$。
Key Insight
单位分数是所有分数的构成基础，这样思考会揭示出一个令人惊讶的事实：调和级数$1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \ldots$，也就是所有单位分数之和，尽管每一项都在变小，它却是发散的，也就是说它没有有限的和。$(0,1)$区间内的每个有理数都有无穷多种埃及分数表示法，而哪些表示法是"最短的"（项数最少）或"最小的"（最大分母最小）仍然是数论中一个活跃的研究领域。