Fracción Unitaria
Una fracción unitaria es una fracción con numerador 1, y representa exactamente una parte igual de un todo.
Formula
\frac{1}{n} \text{ (where } n \text{ is a positive integer)}
Definition
Una fracción unitaria siempre tiene un $1$ arriba, y representa exactamente una parte igual de algo, como $1/2$, $1/3$, $1/4$, y así sucesivamente. Formalmente, es un número racional de la forma $1/n$ donde $n$ es un entero positivo, y toda fracción positiva $a/b$ puede expresarse como la suma de $a$ fracciones unitarias, cada una igual a $1/b$; los antiguos egipcios usaban las fracciones unitarias como la forma principal de representar todas las fracciones. La conjetura de Erdos-Straus (sin demostrar) afirma que para todo entero $n \ge 2$, la fracción $4/n$ puede escribirse como la suma de tres fracciones unitarias, y las representaciones egipcias, sumas de fracciones unitarias distintas, se estudian en teoría combinatoria de números.
Example
$1/4$ significa que cortas algo en $4$ piezas iguales y tomas solo una: la cuarta parte de un dólar son $25$ centavos, una pieza de cuatro piezas iguales de $25$ centavos. Cualquier fracción puede pensarse como una pila de fracciones unitarias, $3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5$, aunque los antiguos egipcios insistían en usar fracciones unitarias distintas, escribiendo $2/5 = 1/3 + 1/15$ en lugar de repetir una fracción. El algoritmo voraz (Fibonacci-Sylvester) encuentra estas representaciones de manera sistemática: $5/7 \to$ restar $1/2$ (ya que $1/\lceil 7/5 \rceil = 1/2$): $5/7 - 1/2 = 3/14 \to$ restar $1/5$: $3/14 - 1/5 = 1/70$, entonces $5/7 = 1/2 + 1/5 + 1/70$.
Key Insight
Las fracciones unitarias son los bloques de construcción de todas las fracciones, y pensarlas así revela algo sorprendente: la serie armónica $1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + \ldots$, la suma de todas las fracciones unitarias, diverge a pesar de que cada término se hace más pequeño, es decir, no tiene una suma finita. Todo número racional en $(0,1)$ tiene infinitas representaciones como fracción egipcia, y la pregunta de cuáles representaciones son "más cortas" (menos términos) o "más pequeñas" (menor denominador máximo) sigue siendo un área activa de investigación en teoría de números.