单位圆
dān wèi yuán
单位圆是以原点为圆心、半径为 1 的圆，用于为所有角度定义三角函数。
Formula
x^2 + y^2 = 1; \quad (x, y) = (\cos(\theta), \sin(\theta))
Definition
单位圆是半径恰好为 $1$、圆心位于原点的圆，它是理解任意角度下正弦和余弦的有力工具。严格来说，它是圆 $x^2 + y^2 = 1$；对于从正 $x$ 轴逆时针量起的角 $\theta$，终点是 $(\cos(\theta), \sin(\theta))$，这把正弦和余弦推广到所有实数角，而不仅仅是锐角。作为集合 $S^1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 = 1\}$，它在复数乘法下构成一个紧致李群，$e^{i\theta} \cdot e^{i\phi} = e^{i(\theta+\phi)}$，其特征标 $e^{in\theta}$ 构成 $L^2(S^1)$ 的一组完备正交基，这正是傅里叶级数的基础。
Example
在 $0^\circ$ 处，单位圆上的点是 $(1, 0)$；在 $90^\circ$ 处，是 $(0, 1)$；在 $180^\circ$ 处，是 $(-1, 0)$。当 $\theta = 2\pi/3$（即 $120^\circ$）时：$x = \cos(120^\circ) = -1/2$，$y = \sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2$，确实有 $(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1$。圆心角为 $\theta$ 的扇形弧长等于 $\theta$（以弧度为单位），这正是弧度制的定义，也解释了为什么只有当 $x$ 以弧度为单位时才有 $d/dx[\sin(x)] = \cos(x)$。
Key Insight
由于半径为 $1$，圆上每一点都是 $(\cos(\text{angle}), \sin(\text{angle}))$，这让你只需看坐标就能读出三角值，单位圆把所有特殊角度值（$30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$、$90^\circ$、$\ldots$）统一成了一幅图。$S^1$ 是紧致李群中最简单的例子，它通过傅里叶级数得到的表示理论，是在 $SU(2)$、$SO(3)$ 等更复杂群上进行调和分析的原型，这些应用于量子力学和晶体学之中。